квадратура круга

знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т.к. задача сводится к построению отрезка длины, что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.

Квадратура круга

задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (см., например, Гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число (). Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число ≈ корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Т. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой ≈ так называемые квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа p см. в ст. Пи.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М. ≈ Л., 1936; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.

Википедия

Квадратура круга

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R радиус заданного круга, x - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x  = π R ,  откуда получаем: $x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекала к себе внимание математиков. Она привлекает к себе внимание прежде всего простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Долгое время не возникало сомнения в возможности осуществить квадратуру круга. Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что ещё в V в. до н. э. греческому геометру Гиппократу удалось превратить в квадрат некоторые круговые луночки" (часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей). На рисунке 199 изображена "луночка" равновеликая треугольнику (который нетрудно превратить в равновеликий ему квадрат).

Популярность задачи о квадратуре круга "росла вместе с числом неудачных попыток её разрешения".

В XV в. были высказаны предположения о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да Винчи и другие).

В XVII и XVIII вв. делались попытки доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Исследования этого вопроса вызвали к жизни некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.

Площадь круга радиуса равна т. е. равна площади квадрата со стороной которая строится как средний пропорциональный отрезок между отрезками

И если бы можно было, зная радиус круга построить отрезок длиной то легко можно было бы построить такой квадрат.

И обратно: если бы при данном можно было построить квадрат, равновеликий кругу, то можно было бы построить отрезок, равный по длине окружности. В самом деле: если а - сторона упомянутого квадрата, то так что искомый отрезок строится как четвёртый пропорциональный отрезок к отрезкам 2а, а к

Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о "спрямлении окружности", т. е. о построении отрезка длиной При длина окружности равна Поэтому задача о спрямлении окружности привела к изучению свойств числа

В 1766 г. известным швейцарским математиком Иоганном Ламбертом (1728-1777) было дано первое доказательство иррациональности числа впоследствии усовершенствованное Лежандром (1752-1833). Доказательства иррациональности числа дали также Эйлер, Гаусс, Эрмит и другие. Но этим лишь наметился путь для дальнейших исследований: иррациональность числа ещё не решала вопроса о возможности квадратуры круга ни в положительном, ни в отрицательном смысле.

Чтобы уяснить себе алгебраическую сторону проблемы, вспомним признак возможности построения отрезка циркулем и линейкой (глава VI, § 8): если длина отрезка,

который может быть построен с помощью циркуля и линейки, является функцией длин данных отрезков, то она может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Исходя только из и полагая мы заметим, что длина искомого отрезка должна образоваться из 1 с помощью только рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Известно, что такие числа являются алгебраическими, т. е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами (см., например, Курош, Курс высшей алгебры, 1955, § 55. Числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Таким образом, для разрешимости задачи о квадратуре круга необходимо, чтобы число было алгебраическим, а не трансцендентным.

Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является "более мощным", "более богатым" элементами, чем множество алгебраических чисел. В 1882 г. было доказано, что число является трансцендентным числом Линдеманн, 1852- 1939).

Вместе с этим, наконец, была разрешена проблема квадратуры круга: квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки.

Несмотря на то, что задача о спрямлении окружности (и задача о квадратуре круга) с помощью циркуля и линейки теоретически точно не разрешима, можно указать различные простые приёмы приближённого решения этой задачи с достаточной для практических целей точностью.

Если разделить окружность точками на достаточно большое число достаточно малых дуг, то периметр многоугольника, для которого эти точки служат последовательно вершинами, может быть принят за длину окружности. Этот приём широко используется в чертёжной практике. Недостаток его состоит в том, что точность решения сравнительно трудно поддаётся учету.

Известно, что ещё в III в. до н. э. Архимед нашел, что тсйу. При таком допущении отрезок длиной строится как три целых и одна седьмая диаметра данной

окружности. Это построение даёт приближённое решение задачи с избытком, причём относительная погрешность не превышает

Интересный приём приближённого спрямления окружности с помощью только циркуля предложил итальянский геометр Маскерони (1750-1800). Пусть О - центр данной окружности, А - какая-либо точка окружности (рис. 200).

Строим четыре последовательные вершины правильного вписанного шестиугольника: Пусть точка пересечения окружности и окружности Пусть в пересечении дуги данной окружности с окружностью образуется точка Тогда длина отрезка равна одной четвёртой части длины окружности с точностью до

Ход построения по этому способу легко проследить по рисунку 202, где

Несомненно, циркуль и линейка - весьма полезные и эффективные инструменты, с помощью которых можно «построить», пожалуй, все, что угодно. Однако есть задачи, которые им не под силу. Одна из них - задача о квадратуре круга, которая вместе с трисекцией угла и удвоением куба, считается не только самой сложной, но и наиболее древней задачей, не имеющей решения.

Круг и квадрат одинаковой площади.

Жившие около двух тысяч лет назад египетские и вавилонские математики пытались с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга, и, судя по древнему папирусу, им это удалось (сторона квадрата должна быть равна 8/9 диаметра круга). В Древней Греции не только геометры, но и философы уделяли много времени задаче, получившей название квадратуры круга, и даже, по свидетельству Плутарха - древнегреческого историка, одному из них - Антифонту - удалось найти решение. Перед тем, как заниматься кругом, философ решил построить квадрат, равновеликий по площади многоугольнику: Антифонт последовательно удваивал стороны многоугольника до тех пор, пока не получилось такое число сторон, что они совпали с дугами окружности. Добившись успеха с многоугольником, философ научно обосновал возможность построить квадрат и для круга, однако никаких доступных свидетельств этого не сохранилось.

Следующим человеком, совершившим существенный переворот в решении задачи о квадратуре круга, был Гиппократ Хиосский, обнаруживший пропорциональность площади круга квадрату его диаметра. Несмотря на то, что это предположение так и осталось гипотезой, именно благодаря ему Гиппократ открыл квадратируемые фигуры (их площади выражались в рациональных числах), которые ограничены пересекающимися окружностями. Ученому удалось получить общий для всех кругов коэффициент пропорциональности, названный позже «гиппократовыми луночками», который мог бы помочь в решении задачи в том случае, если бы круг можно было бы разбить на квадраты.

Некоторые математики пытались использовать для построения квадрата не только циркуль и линейку, но и другие - не только существующие, но и специально изобретенные для этой задачи инструменты, а также специальные кривые, самая известная из которых - квадратриса Динострата, придуманная Гиппием из Элиды. Однако, невзирая на все уловки, задача о квадратуре круга, которая в результате была сведена к поискам точного отношения длины окружности к ее диаметру, не поддалась ни одному пытливому уму. Единственное, что было найдено, так это весьма приблизительное решение задачи: диаметр окружности, в которую вписан квадрат, утраивается и складывается с 1/5 части стороны квадрата.

Немало линеек и циркулей было сломано неутомимыми математиками в поисках решения задачи о квадратуре круга, и только в конце XIX века немецким математиком Ф. Линдеманом было получено доказательство того, что эта знаменитая задача может быть решена только лишь (и никак иначе!) с привлечением дополнительных инструментов. Возможно, именно с этого времени словосочетание «квадратура круга» приобрела метафорическое значение неразрешимой задачи или безнадежного дела.

Это выражение – квадратура круга , наверняка вам где-то встречалось. А вот что оно означает, и с чем его едят, вряд ли кто скажет сразу. В первом приближении кажется. Что это аналог выражения «площадь круга». Однако это совсем не так.

Известно, что геометрия одна из самых древних наук, ибо выросла она из жизненной необходимости. Гео-метрия в буквальном переводе – землемерие. Испокон веку была у людей необходимость мерить землю. А как ее измерять и сравнивать участки между собой, если они не ровные? Всякие там треугольные, трапециевидные и тп. Вобщем, появилась необходимость – появилась наука. При этом у древних математиков были самые примитивные инструменты, циркуль и линейка. И задумали они при помощи только этих инструментов построить квадрат, равный по площади соответствующему кругу.

Но, «сколь ни билась ты, Яга, а не вышло ни фига» - не смогли построить с помощью циркуля и линейки круг и квадрат, равные друг другу по площади.

Вот что по этому поводу написано в Википедии:

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π , откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня, отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства …

Другие интересные выражения из русской речи:

Фимиам – это общее название благовоний, которые курили не только перед алтарями

Интересное выражение – козел отпущения . Фраза недосказана, но все ее прекрасно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Соловей – самая приятная певчая птица, живущая на просторах России. Почему из всех

Кузькина мать (или показать кузькину мать) – устойчивое словосочетание непрямого

Выражение круговая порука – это выражение прямого значения, то есть означает то,

С древнейших времен у многих народов существует поверье, что крокодил плачет, когда

Крепкий орешек – это выражение принято связывать со взятием Петром Первым шведской

выражение красной нитью не имеет к идеологии никакого отношения. А имеет отношение

Квасной патриотизм – короткое, бьющее точно в цель ироничное определение для

Великая Китайская Стена – самое большое архитектурно-строительное произведение

Выражение кесарю-кесарево библейского происхождения, как и многие другие

Пусть вас не смущает эта идиотская формулировка, составленная специально для

Китайские церемонии – этот фразеологизм мы нередко используем в разговоре. Как

По выражению лить колокола совершенно невозможно догадаться, какое еще значение

Верста – русская мера длины, существовавшая в России до введения метрической

Колосс на глиняных ногах – это своего рода характеристика или оценка чего-то

Про происхождение выражения колумбово яйцо разные источники сообщают примерно

Интересное выражение – купить кота в мешке. Его можно отнести к разряду интуитивно

Если это выражение пустить красного петуха прочитает иностранец, изучающий

Выражение костей не собрать для нашего российского уха достаточно привычное. Его

Издревле, еще до появления геометрии, люди привязывали меры длины к частям своего

Казалось, известное всем выражение, на кривой козе не подъедешь . Означает оно тот

Оказывается, возникновение этого фразеологизма напрямую связано с религией, точнее с

Попал как кур во щи говорят тогда, когда неожиданно попадают в крайне неприятную

Сирота казанская – очень интересное выражение. Сирота – понятно, но почему именно

Как от козла молока (получить) – говорят о человеке, от которого нет никакой пользы,

Калиф на час говорят про руководителей или начальников, которые оказались у власти

Канитель слово иностранного происхождения, означает оно тонкую металлическую

Выражение кануть в лету знакомо и понятно всем. Означает оно – исчезнуть из памяти,

Название города-государства Карфаген известно нам еще из учебников истории

Таскать каштаны из огня – это выражение обретет полную ясность, если добавить к

Как в воду глядел – выражение понятное по значению, но не сразу понятное по

Выражение во всю ивановскую, точнее, орать во всю ивановскую, известно очень

Выражение, или словесный оборот и на солнце есть пятна подчеркивает, что в мире

Выражение и на старуху бывает проруха говорит само за себя. Согласно словарю

И ты, Брут! – выражение знакомое практически каждому образованному человеку, даже

Иван, не помнящий родства – чисто русское выражение, уходящее корнями в нашу

Слово свечи в русском языке имеет несколько значений: прежде всего это свечи для

Выражение делать из мухи слона совершенно понятно, не содержит каких-то

Прописать ижицу - выражение из разряда ушедших из нашего обихода в прошлое. Но

На букву Г

На букву Д

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата , равновеликого по площади данному кругу . Наряду с трисекцией угла и удвоением куба , является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить $R$ радиус заданного круга, $x$ - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: $x^2\; =\; \backslash pi\; R^2,$ откуда получаем: $x\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\; R\; \backslash approx\; 1\{,\}77245\; R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

История

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга . В древнем Египте уже знали, что эта площадь ($S$) пропорциональна квадрату диаметра круга $d$, и для вычислений использовали формулу :

$S\; =\; \backslash left(\backslash frac\{8\}\{9\}d\backslash right)^2$

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра $d$ считалась равной площади квадрата со стороной $\backslash frac\{8\}\{9\}d.$ В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение $\backslash pi$ равным $\backslash left(\backslash frac\{16\}\{9\}\backslash right)^2\; \backslash approx\; 3\{,\}16.$

Неразрешимость

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: $x^2=\backslash pi$, откуда: $x=\backslash sqrt\{\backslash pi\}$. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня ; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины $\backslash pi$. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа $\backslash pi$ , которая была доказана в 1882 году Линдеманом .

Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки . Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи . Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $\backslash frac\; \{R\}\; \{2\}$, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью $\backslash pi\; R^2$. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Приближённое решение

Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата .

Метафора «Квадратура круга»

См. также

Напишите отзыв о статье "Квадратура круга"

Примечания

Литература

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. - Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. - 320 с.
• Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. , М., Физматгиз, 1963. - 568 с.
• Перельман Я. И. . Л.: Дом занимательной науки, 1941.
• М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Рудио Ф. О квадратуре, круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр), с приложением истории вопроса. Издание третье. М.-Л.: Огиз, 1936. Серия: Классики естествознания.
• Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов - Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. - М .: «Диалектика» , 2007. - 320 с. - ISBN 0-471-35066-4 .
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. - М .: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. - 96 с. .
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. - 2008. - № 4 (48) . - С. 3-15 .

Отрывок, характеризующий Квадратура круга

Николай, с несходящей улыбкой на лице, несколько изогнувшись на кресле, сидел, близко наклоняясь над блондинкой и говоря ей мифологические комплименты.
Переменяя бойко положение ног в натянутых рейтузах, распространяя от себя запах духов и любуясь и своей дамой, и собою, и красивыми формами своих ног под натянутыми кичкирами, Николай говорил блондинке, что он хочет здесь, в Воронеже, похитить одну даму.
– Какую же?
– Прелестную, божественную. Глаза у ней (Николай посмотрел на собеседницу) голубые, рот – кораллы, белизна… – он глядел на плечи, – стан – Дианы…
Муж подошел к ним и мрачно спросил у жены, о чем она говорит.
– А! Никита Иваныч, – сказал Николай, учтиво вставая. И, как бы желая, чтобы Никита Иваныч принял участие в его шутках, он начал и ему сообщать свое намерение похитить одну блондинку.
Муж улыбался угрюмо, жена весело. Добрая губернаторша с неодобрительным видом подошла к ним.
– Анна Игнатьевна хочет тебя видеть, Nicolas, – сказала она, таким голосом выговаривая слова: Анна Игнатьевна, что Ростову сейчас стало понятно, что Анна Игнатьевна очень важная дама. – Пойдем, Nicolas. Ведь ты позволил мне так называть тебя?
– О да, ma tante. Кто же это?
– Анна Игнатьевна Мальвинцева. Она слышала о тебе от своей племянницы, как ты спас ее… Угадаешь?..
– Мало ли я их там спасал! – сказал Николай.
– Ее племянницу, княжну Болконскую. Она здесь, в Воронеже, с теткой. Ого! как покраснел! Что, или?..
– И не думал, полноте, ma tante.
– Ну хорошо, хорошо. О! какой ты!
Губернаторша подводила его к высокой и очень толстой старухе в голубом токе, только что кончившей свою карточную партию с самыми важными лицами в городе. Это была Мальвинцева, тетка княжны Марьи по матери, богатая бездетная вдова, жившая всегда в Воронеже. Она стояла, рассчитываясь за карты, когда Ростов подошел к ней. Она строго и важно прищурилась, взглянула на него и продолжала бранить генерала, выигравшего у нее.
– Очень рада, мой милый, – сказала она, протянув ему руку. – Милости прошу ко мне.
Поговорив о княжне Марье и покойнике ее отце, которого, видимо, не любила Мальвинцева, и расспросив о том, что Николай знал о князе Андрее, который тоже, видимо, не пользовался ее милостями, важная старуха отпустила его, повторив приглашение быть у нее.
Николай обещал и опять покраснел, когда откланивался Мальвинцевой. При упоминании о княжне Марье Ростов испытывал непонятное для него самого чувство застенчивости, даже страха.
Отходя от Мальвинцевой, Ростов хотел вернуться к танцам, но маленькая губернаторша положила свою пухленькую ручку на рукав Николая и, сказав, что ей нужно поговорить с ним, повела его в диванную, из которой бывшие в ней вышли тотчас же, чтобы не мешать губернаторше.
– Знаешь, mon cher, – сказала губернаторша с серьезным выражением маленького доброго лица, – вот это тебе точно партия; хочешь, я тебя сосватаю?
– Кого, ma tante? – спросил Николай.
– Княжну сосватаю. Катерина Петровна говорит, что Лили, а по моему, нет, – княжна. Хочешь? Я уверена, твоя maman благодарить будет. Право, какая девушка, прелесть! И она совсем не так дурна.
– Совсем нет, – как бы обидевшись, сказал Николай. – Я, ma tante, как следует солдату, никуда не напрашиваюсь и ни от чего не отказываюсь, – сказал Ростов прежде, чем он успел подумать о том, что он говорит.
– Так помни же: это не шутка.
– Какая шутка!
– Да, да, – как бы сама с собою говоря, сказала губернаторша. – А вот что еще, mon cher, entre autres. Vous etes trop assidu aupres de l"autre, la blonde. [мой друг. Ты слишком ухаживаешь за той, за белокурой.] Муж уж жалок, право…
– Ах нет, мы с ним друзья, – в простоте душевной сказал Николай: ему и в голову не приходило, чтобы такое веселое для него препровождение времени могло бы быть для кого нибудь не весело.

Главная » Понятие » Математика, которая мне нравится. Математическое исследование