Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.Признаки параллельности двух плоскостей. Параллельность плоскостей: признак, условие

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В 1 С 1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В 1 С 1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Получаем:

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича ()

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Точка О - общая середина каждого из отрезков АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29

Ðассматривается отношение параллельности плоскостей, его свойства и применения.

Наглядное представление о расположении двух

плоскостей дает моделирование с помощью плоскостей поверхностей смежных стен, потолка и пола комнаты, двухъярусных кроватей, двух скрепленных листов бу-

маги и т. п. (рис. 242–244).

Хотя существует бесконечное множество вариантов взаимного расположения различных плоскостей, для установления и характеристики которых в последующем будут применены измерения углов и расстояний, мы сначала остановимся на таких, где в основу классификации (как и прямых с плоскостями) положено количество их общих точек.

1. Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают (аксиомаС 2 , §7).

2. Общие точки двух плоскостей расположены на одной прямой, являющейся линией пересеченияэтихплоскостей(аксиомаС 3 ,§7). Такие плоскостипересекаются.

3. Две плоскости не имеют общих точек.

В этом случае их называют параллельны-

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей обозначается знаком ||: α || β.

Как всегда, при введении геометрических понятий возника-

ет проблема их существования. Существование пересекающих-

ся плоскостей является характерным признаком пространства,

и этим мы уже многократно пользовались. Менее очевидным яв-

ляется существование параллельных плоскостей. Нет никакого

сомнения в том, что, например, плоскости противоположных гра-

ней куба параллельны, то есть не пересекаются. Но непосредс-

твенно, по определению, это установить невозможно. Для реше-

ния поставленного вопроса, а также других вопросов, связанных с

параллельностью плоскостей, необходимо иметь признак параллельности.

Для поиска признака целесообразно рассматривать плоскость,

«сотканную» из прямых. Очевидно, что каждая прямая одной из

параллельных плоскостей должна быть параллельна другой.

В противном случае плоскости будут иметь общую точку. Доста-

точно ли параллельности плоскости β одной прямой плоскости α

для того, чтобы плоскости α и β были параллельными? Безуслов-

но, нет (обоснуйте это!). Практический опыт свидетельствует, что

двух таких пересекающихся прямых достаточно. Чтобы закрепить

на мачте параллельную земле площадку, достаточно положить ее

сти параллельны второй плоскости, то эти плоскости параллельны.

 Пусть пересекающиеся прямыеа иb плоскости α параллельны плоскости β. Докажем, что плоскости α и β параллельны методом от противного. Для этого допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой

т (рис. 246). Прямыеа иb пересекать прямуют не могут по условию. Однако тогда в плоскости α через одну точку проведены две прямые, не пересекающиеся с прямойт, то есть параллельные ей. Это противоречие

и завершает доказательство теоремы.

Признаком параллельности плоскостей пользуются при горизонтальном размещении плоских конструкций (бетонных плит, пола, диска угломерных приборов и т. п.) с помощью двух уровней, размещенных в плоскости конструкции на пересекающихся прямых. На основании этого признака можно выполнить построение плоскости, параллельной данной.

Задача 1. Через точку, лежащую вне данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной.

 Пусть даны плоскость β и точкаМ вне плоскости (рис. 247, а). Проведем через точкуМ две пересекающиеся прямыеа иb , параллельные плоскости β. Для этого нужно взять в плоскости β две пересекающиеся прямыес иd (рис. 247, б). Потом через точкуМ провести прямыеа иb , параллельные прямымс иd соответствен-

но (рис. 247, в).

Пересекающиеся прямые а иb параллельны плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11). Они определяют однозначно плоскость α. Согласно доказанному признаку, α || β.

Пример 1. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точкиМ ,N ,Р – середины реберВС ,В 1 С 1 ,А 1 D 1 соответственно. Установить взаимное расположение плоскостей: 1)АВВ 1 иPNM ; 2)NMA иA 1 C 1 C ; 3)A 1 NM

и РC 1 C ; 4)МAD 1 иDB 1 C.

 1) ПлоскостиABB 1 иРNM (рис. 248) параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямыеРN иNM пересекаются и параллельны плоскостиABB 1 , по признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), ведь отрезкиРN иNM соединяют середины противоположных сторон квадратов, поэтому они параллельны сторонам квадратов:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Плоскости NMA иA 1 C 1 C пересекаются по прямойAA 1 (рис. 249). Действительно, прямыеAA 1 иСC 1 параллельны, по признаку параллельности прямых (AA 1 ||ВB 1 ,ВB 1 ||СC 1 ). Поэтому прямаяAA 1 лежит в плоскостиA 1 C 1 C . Аналогично обосновывается принадлежность прямойAA 1 плоскостиNMA .

3) Плоскости A 1 NM иРC 1 C (рис. 250) параллельны, по признаку параллельности плоскостей. Действительно,NM ||С 1 C . Поэтому прямаяNM параллельна плоскостиРC 1 C. ОтрезкиРC 1 иA 1 N также параллельны, поскольку четырехугольникРC 1 NA 1 – параллелограмм(А 1 P ||NC 1 ,A 1 P =NC 1 ). Таким образом, прямаяA 1 N параллельна плоскостиРC 1 C. ПрямыеA 1 N иNM пересекаются.

4) Плоскости MAD 1 иDB 1 C пересекаются (рис. 251). Хотя линию их пересечения построить непросто, но указать одну точку этой линии нетрудно. Действительно, прямыеA 1 D иВ 1 C - параллельны, поскольку четырехугольникA 1 B 1 CD – параллелограмм (A 1 B 1 =AВ = СD ,A 1 B 1 ||AВ ,AВ ||СD ). Поэтому прямаяA 1 D принадлежит плоскостиDB 1 C. ПрямыеA 1 D иAD 1 пересекаются в точке, общей для плоскостейMAD 1 , иDB 1 C.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пользуясь признаком параллельности прямой и плоскости (теорема 1 §11), нетрудно установить, что из условия теоремы 1′ вытекает условие теоремы 1. Применение теоремы, обратной признаку параллельности прямой и плоскости (теорема 2 §11) завершает обоснование эквивалентности условий теорем 1 и 1′.

Естественно возникает вопрос об однозначности приведенного в задаче 1 построения. Поскольку нам придется не раз воспользоваться этим свойством, то выделим его как отдельную теорему. Однако сначала рассмотрим другое утверждение.

Теорема 2 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

 Пусть даны параллельные плоскости α, β и плоскость γ, их пересекающая (рис. 252). Обозначим линии пересечения

через а иb. Эти прямые лежат в плоскости γ и не пересекаются, поскольку плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому пря-

мые а иb - параллельны.

Теорема 3 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

 Построение такой плоскости выполнено в задаче 1. Однозначность построения докажем методом от противного. Допустим, что через точкуМ проведены две различные плоскости α и γ, па-

раллельные плоскости β (рис. 253), и прямая т - линия их пересечения. Проведем через точкуМ плоскость δ, пересекающуюся с прямой

т и плоскостью β (как это можно сделать?). Обозначим череза иb

линии пересечения плоскости δ с плоскостями α и γ, а черезс - линию пересечения плоскостей δ и β(рис. 253). Согласно теореме 2,а ||с

и b ||с. То есть в плоскости δ через

точку М проходят две прямые, параллельные прямойс. Противоречие свидетельствует о неверности предположения.

Отношение параллельности плоскостей обладает рядом свойств, имеющих аналоги в планиметрии.

Теорема 4 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

 Пусть даны две параллельные плоскости α и β и отрезки АВ

и СD параллельных прямыхa иd , отсекаемые этими плоскостями (рис. 254, а). Проведем через прямыеa иd плоскость γ (рис. 254, б). Она пересекает плоскости α и β по прямымАС иBD, которые, согласно теореме 2, параллельны. Поэтому четырехугольникАBСD - параллелограмм, его противоположные стороныАС иBD равны.

Из приведенного свойства вытекает, что если от всех точек плоскости отложить

по одну сторону от плоскости параллельные отрезки одинаковой длины, то концы этих отрезков образуют две параллельные плоскости. Именно на этом свойстве основано построение параллелепипеда с помощью отложения отрезков (рис. 255).

Теорема 5 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то данные две плоскости параллельны между собой.

 Пусть плоскости α и β параллельны плоскости γ. Допустим, что

α и β не параллельны. Тогда плоскости α и β имеют общую точку, и через эту точку проходят две различные плоскости, параллельные плоскости γ, что противоречит теореме 3. Поэтому плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Теорема 5 является еще одним признаком параллельности плоскостей. Она широко применяется как в геометрии, так и в практической деятельности. Например, в многоэтажном здании параллельность плоскостей пола и потолка на каждом этаже гарантирует их параллельность и на разных этажах.

Задача 2. Доказать, что если прямаяа пересекает плоскость α, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости α.

 Пусть плоскости α и β параллельны, а прямаяа пересекает плоскость α в точкеА . Докажем, что она пересекает и плоскость

β. Допустим, что это не так. Тогда прямая а параллельна плоскости β. Проведем плоскость γ через прямуюа и произвольную точку плоскости β (рис. 256).

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым b ис . Со-

гласно теореме 2, b || с, то есть в плоскости γ через точкуА проходят две прямыеа иb, параллельные прямойс . Это противоречие и доказывает утверждение.

Попробуйте доказать самостоятельно, что если плоскость α пересекает плоскость β, то она пересекает также каждую плоскость, параллельную плоскости β.

Пример 2. В тетраэдреАBCD точкиK ,F, Е - середины реберDA, DС, DВ, аМ иР - центры масс гранейАВD иВСD соответственно.

1) Установить взаимное расположение плоскостей KEF иABC ;

DEF и ABC.

2) Построить линию пересечения плоскостей AFB иKEC.

3) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости АВD и проходящей через точкуР , если все рёбра тетраэдра равныа.

 Построим рисунок, соответствующий условию (рис. 257, а). 1) ПлоскостиKEF иABC параллельны, по признаку параллельности плоскостей (теорема 1’): пересекающиеся прямыеKE иKF плоскостиKEF параллельны пересекающимся прямымAB иAC плоскостиABC (на них лежат средние линии соответствую-

щих треугольников).

Плоскости DEF иABC пересекаются по прямойBC , так как прямаяBC принадлежит обеим плоскостям, а совпадать они не могут - точкиА ,В ,С ,D не лежат в одной плоскости.

2) Плоскость AFB пересекается с плоскостьюKEC по прямой, содержащей точкуР , так как прямыеСЕ иBF , лежащие в этих плоскостях, находятся в плоскостиBCD и пересекаются в точкеР . Другой точкой является точка пересеченияQ прямыхAF иCK в плоскостиACD (рис. 257, б). Очевидно, что эта точка является центром масс граниACD. Искомым пересечением является прямаяPQ.

3) Построим сечение, указанное в условии, пользуясь признаком параллельности плоскостей. Проведем через точки P иQ прямые, параллельные прямымDB иDA соответственно (рис. 257, в). Эти прямые пересекают отрезокCD в точкеL. Последнее вытекает из свойства центра масс треугольника - он делит медианы треугольника в отношении 2: 1, считая от вершины. Осталось применить теорему Фалеса. Таким образом, плоскостиPLQ иBDA параллельны. Искомым сечением является треугольникLSN.

По построению, треугольники BCD иSCL подобны с коэффициентом подобияCE CP =3 2 . ПоэтомуLS =3 2 BD . Аналогично уста-

навливаются равенства: LN =3 2 AD ,NS =3 2 AB . Отсюда вытекает, что треугольникиLSN иABD подобны с коэффициентом подобия3 2 . По свойствам площадей подобных треугольников,

S LNS =4 9 S ABD . Осталось найти площадь треугольникаABD. По-

скольку, по условию, все рёбра тетраэдра равны а , тоS ABD =4 3 a 2 .

Искомая площадь равна 3 1 3 a 2 .

Уместно обратить внимание на то, что ответ зависит лишь от площади грани ABD. Поэтому равенство всех рёбер является лишь средством найти эту площадь. Таким образом, данную задачу можно существенно обобщить.

Ответ. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .

 Контрольные вопросы

1. Верно ли, что две плоскости параллельны, если каждая прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

2. Плоскости α и β параллельны. Существуют ли скрещивающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях?

3. Две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости. Параллельна ли этой плоскости третья сторона треугольника?

4. Две стороны параллелограмма параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что плоскость параллелограмма параллельна данной плоскости?

5. Могут ли быть неравными отрезки двух прямых, отсекаемые параллельными плоскостями?

6. Может ли сечением куба быть равнобокая трапеция? Может ли сечением куба быть правильный пятиугольник? Верно ли, что две плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой?

Линии пересечения плоскостей α и β плоскостью γ параллельны между собой. Параллельны ли плоскости α и β?

Могут ли три грани куба быть параллельными одной плоскости?

Графические упражнения

1. На рис.258 изображен кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точкиМ ,N ,K ,L ,Р - середины соответствующих рёбер. Заполните по приведенному образцу таблицу, выбрав необходимое расположение плоскостей α и β.

Взаимное

расположение

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. На рис. 259 изображен тетраэдрABCD, точкиK ,F, M ,N ,Q - середины соответствующих рёбер. Укажите:

1) плоскость, проходящую через точку K параллельно плоскостиABC;

2) плоскость, проходящую через прямую BD параллельно плоскостиMNQ.

3. Определите, чем является сечение фигуры плоскостью, проходящей через данные три точки, изображенные на рисун-

ках 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Из вершин параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость соответственно в точкахA 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

2) Треугольник A 1 B 1 C 1 является проекцией треугольникаABC на параллельную ему плоскость α. ТочкаМ - серединаВС ,М 1 - проекция точкиМ на плоскость α.

207. В кубеABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точкиО ,О 1 - центры гранейABCD иA 1 B 1 C 1 D 1 соответственно,М - середина ребраАВ .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей МО 1 О

и ADD 1 ,ABD 1 иСО 1 С 1 .

2°) Постройте точку пересечения плоскости DCC 1 и прямойМО 1 и линию пересечения плоскостейМСС 1 иA 1 D 1 C 1 .

3) Найдите площадь сечения куба плоскостью, параллельной плоскости AD 1 C 1 и проходящей через точкуО 1 , если ребро куба равноа.

208. В тетраэдреABCD точкиK ,L ,Р - центры масс гранейABD ,BDC ,ABC соответственно, аМ - середина ребраAD .

1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACD

и KLP ;МLK иABC .

2°) Постройте точку пересечения плоскости ABC и прямойМL и линию пересечения плоскостейМKL иABC.

3) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K ,L иМ параллельно прямойAD, если все рёбра тетраэдра равныа.

209. Дан кубABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . ТочкиL, M, M 1 - середины рёберAB, AD иA 1 D 1 соответственно.

1°) Определите взаимное расположение плоскостей B 1 D 1 D

и LMM1 .

2) Постройте плоскость, проходящую через точку М параллельно плоскостиACC 1 .

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку M 1 параллельно плоскостиCDD 1 .

4) Определите взаимное расположение плоскостей МА 1 В 1

и CDМ1 .

5) Постройте плоскость, проходящую через прямую C 1 D 1 параллельно плоскостиCDM 1 .

210. В правильной четырехугольной пирамидеSABCD все рёбра равны между собой. ТочкиL ,M иN - середины рёберAS ,BS ,CS соответственно.

1°) Определите взаимное расположение: прямых LM иBC ; прямойLN и плоскостиABD; плоскостейLMN иBDC .

2°) Докажите, что треугольники ABC иLMN подобны.

3) Постройте сечение пирамиды плоскостью AMN ; плоскостьюLMN; плоскостьюLBC .

4*) Какое из сечений пирамиды, проходящих через вершину S , имеет наибольшую площадь?

Параллельность прямых и плоскостей

В тетраэдре SABC все грани - правильные треугольники. ТочкиL, M иN - середины рёберAS, BS, CS соответственно. 1°) Определите взаимное расположение прямыхLM иВС. 2°) Определите взаимное расположение прямойLN и плоскостиАВС.

3) Докажите, что треугольники LMN иAВС подобны.

Постройте сечение куба, являющееся: 1°) равносторонним треугольником; 2) пятиугольником.

217. Постройте сечение тетраэдра, являющееся параллелограммом.

218°. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны.

219. Докажите, что множество всех прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной плоскости, образует плоскость, параллельную данной.

220. Даны четыре точкиA ,B ,C ,D , не лежащие в одной плоскости. Докажите, что каждая плоскость, параллельная прямымAB иCD, пересекает прямыеAC, AD, BD, BC в вершинах параллелограмма.

221. Докажите, что плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, параллельны между собой, если обе они параллельны одной и той же плоскости.

222. Через точкуО пересечения диагоналей кубаABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена плоскость параллельно граниABCD. Эта плоскость пересекает рёбраBB 1 иCC 1 в точкахM иN соответственно. Докажите, что уголMON - прямой.

223. Докажите, что две плоскости параллельны между собой тогда и только тогда, когда каждая прямая, пересекающая одну из плоскостей, пересекает и вторую.

224*. В треугольной пирамидеSABC через отрезкиAD иCE, гдеD - серединаSB, аE - серединаSA , проведите сечения пирамиды, параллельные между собой.

225. Найдите геометрические места:

1) середин всех отрезков с концами на двух данных параллельных плоскостях; 2*) середин отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых.

226*. СторонаАВ треугольникаАВС , лежащего в плоскости α, параллельна плоскости β. Равносторонний треугольникА 1 В 1 С 1 является параллельной проекцией треугольникаАВС на плоскость β;АВ = 5,ВС = 6,АС = 9.

1) Установите взаимное расположение прямых АВ иА 1 В 1 ,

ВС и В1 С1 , А1 С1 и AC.

2) Найдите площадь треугольника А 1 В 1 С 1 .

227*. Даны две скрещивающиеся прямые. Укажите множество всех точек пространства, через которые можно провести прямую, пересекающую каждую из двух данных прямых.

Основное определение

Две плоскости называ-

ются параллельными,

если они не имеют общих точек.

Основные утверждения

Признак парал- Если две пересекаю-лельности двух щиеся прямые однойплоскостей плоскости соответственно параллельны двум прямым второй плоскости, то эти плос-

кости параллельны.

Теорема о пе- Если две параллель-ресечении двух ные плоскости пе-параллельных ресекаются третьейплоскостей плоскостью, то линиитретьей пересечения плоскос-

тей параллельны.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β,М β

Готовимся к тематичес-

кому оцениванию по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Задания для самоконтроля

1. Четыре точки не принадлежат одной плоскости. Могут ли некоторые три из них лежать на одной прямой?

2. Могутлитриразличныеплоскостииметьровнодвеобщиеточки?

3. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть одновременно параллельными третьей прямой?

4. Верно ли, что прямые а иb не параллельны, если не существует прямойс , параллельнойа иb ?

5. Могут ли равные отрезки иметь неравные проекции?

6. Может ли луч быть параллельной проекцией прямой?

7. Может ли квадрат быть изображением куба?

8. Верно ли, что через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой?

9. Всегда ли через данную точку можно провести прямую, параллельную двум данным плоскостям, не содержащим эту точку?

10. Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

Ответы к заданиям для самоконтрол я

Образец контрольной работы

Два параллелограмма АBCD иАBC 1 D 1 лежат в различных плоскостях.

1°) Определите взаимное расположение прямых CD иC 1 D 1 .

2°) Определите взаимное расположение прямой C 1 D 1 и плоскости

3°) Постройте линию пересечения плоскостей DD 1 С 1 иВСС 1 .

4°)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостейАDD 1 иВCC 1 .

5) Через точку М , делящую отрезокАВ в отношении 2:1, считая от точкиА , проведите плоскость α, параллельную плоскостиС 1 ВС. 6) Постройте точку пересечения прямойАС с плоскостью α и найдите отношение, в котором эта точка делит отрезокАС.

Взаимноерасположениепрямыхиплоскостейвпространстве

Тригонометрические

С тригонометрическими функциями вы уже имели дело на уроках гео­ метрии. До сих пор их приложения, в основном, ограничивались решени­ ем треугольников, то есть речь шла о нахождении одних элементов тре­ угольника по другим. Из истории математики известно, что возникновение тригонометрии связано с измерением длин и углов. Однако, теперь сфера

ее приложений намного шире, чем в древности.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих τριγωνον

(trigonon) – треугольник и µετρεω (metreo) - меряю, изме-

ряю. Буквально оно означает измерение треугольников.

В этой главе систематизируется материал, уже известный вам из кур­ са геометрии, продолжается изучение тригонометрических функций и их приложений для характеристики периодических процессов, в частности, вращательного движения, колебательных процессов и т. п.

Большинство применений тригонометрии касаются именно перио­ дических процессов, то есть процессов, повторяющихся через равные промежутки времени. Восход и закат Солнца, изменения времен года, вращения колеса - это простейшие примеры таких процессов. Меха­ нические и электромагнитные колебания являются также важными при­ мерами периодических процессов. Поэтому исследование периодических процессов - важное задание. И роль математики в его решении является определяющей.

готовимся к изучению темы «Тригонометрические функции»

Изучение темы «Тригонометрические функции» целесообразно начать с повторения определений и свойств тригонометрических функций углов треугольников и их применений для решения как прямоугольных, так и произвольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов прямоугольного

треугольника

Таблица 24

Синусом острого угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = a c .

Косинусом острого угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosα = b c .

Тангенсом острого угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α =a b .

Котангенсом острого угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgα = a b .

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0° до 180°

Таблица 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; ctgα = x y .

(х ;у ) - координаты точкиА , расположенной на верхней полуокружности,α - угол, образованный радиусомОА окружности с осьюх .

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

некоторых углов

Таблица 26

Угол t

Решение произвольных треугольников

Таблица 27

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

sina α = sinb β = sinc γ .

Теорема косинусов

Квадрат произвольной стороны треугольника равен суммеквадратовдвухдругихсторонбезудвоенногопроизведения этих сторон на косинус угла между ними:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cosγ , b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cosβ , a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cosα .

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними:

S =1 2 ab sin γ =1 2 ac sin β =1 2 bc sin α.

Основные тригонометрические тождества

5. Сравните сумму синусов острых углов произвольного прямоугольного треугольника (обозначим ее через А ) с единицей.

< 1. Б. А = 1.

> 1. Г. Сравнить невозможно. Расположите по возрастанию числа:а = sin 30°,b = cos 30°,

= tg 30°.

< b <c .Б. a <c <b

15. Укажите координаты точки А , лежащей на окружности радиуса 1 (см. рис.).

(−1; 0).Б. (1; 0).

(0; − 1). Г. (0; 1).А. В.

Всем, кто когда-либо учился или сейчас учится в школе, приходилось сталкиваться с различными трудностями при изучении дисциплин, которые включены в программу, разработанную Министерством образования.

С какими трудностями приходится сталкиваться

Изучение языков сопровождается зазубриванием имеющихся грамматических правил и основных исключений из них. Физкультура требует от учеников большой выкладки, хорошей физической формы и огромного терпения.

Однако ни с чем нельзя сравнить те сложности, которые возникают при изучении точных дисциплин. Алгебра, содержащая в себе запутанные способы решения элементарных задач. Физика с богатым набором формул физических законов. Геометрия и ее разделы, в основе которых лежат сложные теоремы и аксиомы.

Примером могут служить аксиомы, объясняющие теорию параллельности плоскостей, которые необходимо обязательно запомнить, так как они лежат в основе всего курса школьной программы по стереометрии. Давайте попробуем разобраться, как проще и быстрее это можно сделать.

Параллельные плоскости на примерах

Аксиома, указывающая на параллельность плоскостей, звучит следующим образом: «Любые две плоскости считаются параллельными только в том случае, если они не содержат общих точек », то есть не пересекаются друг с другом. Чтобы более детально представить себе данную картину, в качестве элементарного примера можно привести отношение потолка и пола или противоположных стен в здании. Становится сразу понятно, что имеется в виду, а также подтверждается тот факт, что эти плоскости в обычном случае никогда не пересекутся.

Другим примером может служить оконный стеклопакет, где в качестве плоскостей выступают полотна стекол. Они также ни при каких условиях не будут образовывать точек пересечения между собой. Дополнительно к этому можно добавить книжные полки, кубик Рубика, где плоскостями являются его противоположные грани, и прочие элементы быта.

Обозначаются рассматриваемые плоскости специальным знаком в виде двух прямых «||», которые наглядно иллюстрируют параллельность плоскостей. Таким образом, применяя реальные примеры, можно сформировать более четкое восприятие темы, а, следовательно, можно переходить далее к рассмотрению более сложных понятий.

Где и как применяется теория параллельных плоскостей

При изучении школьного курса геометрии ученикам приходится сталкиваться с разносторонними задачами, где зачастую необходимо определить параллельность прямых, прямой и плоскости между собой или зависимость плоскостей друг от друга. Анализируя имеющееся условие, каждую задачу можно соотнести к четырем основным классам стереометрии.

К первому классу относят задачи, в условии которых необходимо определить параллельность прямой и плоскостимежду собой. Ее решение сводится к доказательству одноименной теоремы. Для этого нужно определить, имеется ли для прямой, не принадлежащей рассматриваемой плоскости, параллельная прямая, лежащая в этой плоскости.

Ко второму классу задач относятся те, в которых задействуют признак параллельности плоскостей. Его применяют для того, чтобы упростить процесс доказательства, тем самым значительно сокращая время на поиск решения.

Следующий класс охватывает спектр задач о соответствии прямых основным свойствам параллельности плоскостей. Решение задач четвертого класса заключается в определении, выполняется ли условие параллельности плоскостей. Зная, как именно происходит доказательство той или иной задачи, ученикам становится проще ориентироваться при применении имеющегося арсенала геометрических аксиом.

Таким образом, задачи, условие которых требует определить и доказать параллельность прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей между собой, сводятся к правильному подбору теоремы и решению согласно имеющемуся набору правил.

О параллельности прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости - особая тема в стереометрии, так как именно она является базовым понятием, на которое опираются все последующие свойства параллельности геометрических фигур.

Согласно имеющимся аксиомам, в случае когда две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, можно сделать вывод, что данная прямая также лежит в ней. В сложившейся ситуации становится ясно, что возможны три варианта расположения прямой относительно плоскости в пространстве:

1. Прямая принадлежит плоскости.
2. Для прямой и плоскости имеется одна общая точка пересечения.
3. Для прямой и плоскости точки пересечения отсутствуют.

Нас, в частности, интересует последний вариант, когда отсутствуют какие-либо точки пересечения. Только тогда можно говорить о том, что прямая и плоскость относительно друг друга являются параллельными. Таким образом, подтверждается условие основной теоремы о признаке параллельности прямой и плоскости, которая гласит, что: «Если прямая, не принадлежащая рассматриваемой плоскости, параллельна любой прямой на этой плоскости, то рассматриваемая прямая также является параллельной данной плоскости».

Необходимость использования признака параллельности

Признак параллельности плоскостей, как правило, используется для поиска упрощенного решения задач о плоскостях. Суть данного признака состоит в следующем: «Если имеются две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельные двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости можно назвать параллельными ».

Дополнительные теоремы

Помимо использования признака, доказывающего параллельность плоскостей, на практике можно встретиться с применением двух других дополнительных теорем. Первая представлена в следующей форме: «Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей, то и вторая плоскость либо тоже параллельна третьей, либо полностью совпадает с ней ».

Базируясь на использовании приводимых теорем, всегда можно доказать параллельность плоскостей относительно рассматриваемого пространства. Вторая теорема отображает зависимость плоскостей от перпендикулярной прямой и имеет вид: «Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны по отношению к некоторой прямой, то они считаются параллельными друг другу ».

Понятие необходимого и достаточного условия

При неоднократном решении задач доказательства параллельности плоскостей было выведено необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. Известно, что любая плоскость задается параметрическим уравнением вида: А 1 х+ В 1 у+ C 1 z+D 1 =0. Наше условие базируется на использовании системы уравнений, задающих расположение плоскостей в пространстве, и представлено следующей формулировкой: «Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, описывающих эти плоскости, была несовместной, то есть не имела решения ».

Основные свойства

Однако при решении геометрических задач использования признака параллельности не всегда бывает достаточно. Иногда возникает ситуация, когда необходимо доказать параллельность двух и более прямых в различных плоскостях или равенство отрезков, заключенных на этих прямых. Для этого применяют свойства параллельности плоскостей. В геометрии их насчитывается всего два.

Первое свойство позволяет судить о параллельности прямых в определенных плоскостях и представлено в следующем виде: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, образованные линиями пересечения, будут также параллельны друг другу ».

Смысл второго свойства состоит в том, чтобы доказать равенство отрезков, расположенных на параллельных прямых. Его трактовка представлена ниже. «Если рассматривать две параллельные плоскости и заключить между ними область, то можно утверждать, что длина образованных этой областью отрезков будет одинакова ».

е свойство параллельных прямых, называемое транзитив ностью параллельности:

• Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель ны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про странстве существуют непараллельные и при том непересекающиеся прямые если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD параллельны, а АВ и В С скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C D, потому что обе они параллельны общей стороне CD со держащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две пло скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

• Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
• Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой(или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:

• Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

• Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

• Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А В параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А В С D и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A B и B С в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA и СС , пересекают параллельные плоскости АВСD и A B C D по прямым АС и А С , значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В С и А D. Следовательно, параллельные плоскости АВ С и А DC, пересекающие куб по треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм Геометрия это искус ство правильно рассуждать на неправильном чертеже. Действительно, если вернуться к из ложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объясне нии обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём нечто не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем рассуждать излагать готовое доказательство, надо его при думать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж мо жет стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) на рисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или централь ной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а про извольная точка Х изображается точкой X, в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямоли нейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересека ющиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств при вело к появлению важного раздела геометрии (см. статью Проективная геометрия).

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся па раллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, па раллельную l. Точка X, в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Про екция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии это прямая линия или (в исключительном слу чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель

Цели урока:

• Ввести понятие параллельных плоскостей.
• Рассмотреть и доказать теоремы, выражающие признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей.
• Проследить применение этих теорем при решении задач.

План урока (записать на доске):

I. Подготовительная устная работа.

II. Изучение нового материала:

1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
2. Определение параллельных плоскостей.
3. Признак параллельности плоскостей.
4. Свойство параллельных плоскостей.

III. Итог урока.

IV. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Устная работа

Начать урок хочется с цитаты из философского письма Чаадаева:

“Откуда это чудодейственная мощь анализа в математике? Дело в том, что ум здесь действует в полном подчинении данному правилу”.

Это подчинение правилу мы рассмотрим на следующем задании. Для усвоения нового материала необходимо повторить некоторые вопросы. Для этого надо установить утверждение, которое следует из данных утверждений и обосновать свой ответ:

II. Изучение нового материала

1. Как могут располагаться две плоскости в пространстве? Что представляет собой множество точек, принадлежащих обеим плоскостям?

Ответ:

а) совпадать (тогда дело будем иметь с одной плоскостью, не устраивает);
б) пересекаться, ;
в) не пересекаться (общих точек вообще нет).

2. Определение: Если две плоскости не пересекаются, то они называются параллельными

3. Обозначение:

4. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружающей обстановки

5. Как выяснить параллельны ли какие-либо две плоскости в пространстве?

Ответ:

Можно воспользоваться определением, но это нецелесообразно, т.к. установить пересечение плоскостей не всегда возможно. Поэтому необходимо рассмотреть условие достаточное для того, чтобы утверждать о параллельности плоскостей.

6. Рассмотрим ситуации:

б) если ?

в) если ?

Почему в а) и б) ответ: "не всегда", а в в) "да"? (Пересекающиеся прямые определяют плоскость единственным образом, значит определены однозначно!)

Ситуация 3 и есть признак параллельности двух плоскостей.

7. Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

(Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

1. Отметим: . Аналогично:
2. Пусть: .
3. Имеем: Аналогично:
4. Получим: через М проходит противоречие с аксиомой планиметрии.
5. Итак: неверно, значит , ч. и т. д.

8. Решить № 51 (Обозначения на чертеж наносят учащиеся).

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1 способ

1. Построим

2 способ

Ввести через через .

9. Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей:

Теорема: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

(Достраивают и наносят обозначение на чертеж сами учащиеся).

Дано:

Главная » Процессуальное право » Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.Признаки параллельности двух плоскостей. Параллельность плоскостей: признак, условие