В семье четверо детей причем все мальчики. Задачи на установление количественных соотношений
Логические задания олимпиады по обществознанию (2011 г.)
Условныеобозначения, используемые при проверке работ:
NS (non sequitur) – «не следует»,ошибка в обосновании (утверждаемое заключение не следует логически изпосылок)
– «психологизация» – подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими,нерелевантными сути задачи) рассуждениями
А – ошибка в анализе логической формы
L(lacuna) – пробелв рассуждениях
T – терминологическая ошибка
НР – нет решения
Основныекритерии оценки:
1) Каждое изтрех логических заданий комплекта оценивается максимум в 10баллов.
2) Задание считается выполненным полностьютолькопри наличии правильногоответа и исчерпывающегообоснования . Всевозможные схемы,таблицы,графики не считаются обоснованием,если не сопровождаются четкосформулированной последовательностью умозаключений.
3) В зависимости от степени сложности задач и объема проделанных умозаключений,частично выполненные задания оцениваются в 2,5или 7баллов.
Министр иностранных дел ответил категорическим отказом на просьбуаннулировать
распоряжение о приостановлении попытокдезавуировать заявление посла. Означает ли это, что он согласен с заявлением,которое сделалпосол? Обоснуйте свой ответ.
двойногоотрицания)
1. Выявим содержание, относительно которого выносится суждение. В данном случае это
заявление посла.
2. Посчитаем отрицания («дезавуировать»,«приостановление»,«аннулировать»,«отказ») – 4.
3. Четное число отрицаний говорит о том, что министр иностранных дел согласен с основной мыслью– в данном случае –сзаявлением посла .
1. Министр иностранных дел ответил категорическим отказом на просьбу аннулировать
распоряжение оприостановлении попытокдезавуировать заявление посла.
2. Министр иностранных дел поддержал распоряжение о приостановлении попыток
дезавуировать заявление посла.
3. Министриностранных дел поддержал заявление посла.
Ответ: да,министрсогласен спослом
Преступник
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении. Виновен только один из них. Джонс сказал: «Это преступление совершил я». Смит сказал: «Этосделал Браун». Браун сказал: «Я не виновен». Только один изних солгал. Определите,ктона самом деле виновен. Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки анализа логической формы – а именно,умение находитьсуждения,
логически противоречащие друг другу и делатьвыводыотносительно их истинности и ложностис учетом содержащихся в условиях ограничений – «толькоодин изних солгал»; также предполагается знание одного изфундаментальных законов классической логики –законанепротиворечия ; при решении данной задачи важно избежатьпоспешного отождествления «единственного человека,
который солгал» и «единственного виновного» – психологические соображения здесьоказываются нерелевантными)
1способ:анализлогических отношений между суждениями
1. УтвержденияСмита и Брауна противоречат друг другу («ЭтосделалБраун»,«Браун не виновен»)
2. Значит,один изних точносолгал(в силу закона непротиворечия).
3. Поусловиюзадачи,извсех троих солгалтолько один. Мы уже установили,чтоэтолибоСмит,
либоБраун.
4. Следовательно,Джонсточносказалправду.
5. Следовательно,еговысказывание «Этопреступление совершиля» истинно.
6. Следовательно,Джонсвиновен.
2 способ:разборслучаев
1. Допустим, солгал Браун, сказавший «Я не виновен» (т.е. он на самом деле виновен). Тогда Джонс также солгал (утверждая, что он сам виновен). По условию, солгал только один.
Противоречие. Значит,Браун все-таки сказалправду (он не виновен).
2. Допустим, что солгал Джонс, сказавший «Это преступление совершил я» (т.е. он на самом деле невиновен). По условию, солгал только один. Тогда Смит и Браун оба сказали правду. Но это невозможно, т.к. они противоречат друг другу. Значит, Джонс все-таки сказал правду (и он виновен).
3. Следовательно,солгать мог толькоСмит.
4. Таким образом, Смит – единственный солгавший,Джонс– единственный виновный.
Ответ: Виновен Джонс
Странная семья
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду. Один ребеноксказал:«Уменя сестер и братьев поровну»,другой:«Уменя ровно один брат», третий: «У меня ровно два брата», четвертый: «У меня ровно две сестры». Определите,скольков этой семье мальчиков. Обоснуйте свой ответ.
Решение (методом «от противного»):
1. Допустим, что первый ребенок – девочка. Тогда её высказывание должнобыть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестерпоровну. Следовательно,первый ребенок– мальчик.
2. Допустим, что второй ребенок – девочка. Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры. Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4. Но при таких условиях ребенок № 3не может быть девочкой,т.к. говорит явнуюложь:«Уменя ровнодва брата». Противоречие. Следовательно,второй ребенок– мальчик.
3. Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровнодве сестры» заведомоложно. Следовательно,четвертый ребенок– тоже мальчик.
4. В таком случае уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно. Значит, он тоже является мальчиком.
Ответ: В семье 4мальчика
Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собираетсяотменить приказ озапрете уклонения от поступков,вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента.
Соответствует ли позиция спикера егофункциям?Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки анализа логической формы – а именно,умение выделять пропозициональное содержание суждения и определятьчисло применяемых кнему отрицаний;
также предполагается знание одного изфундаментальных законов классической логики – закона
двойногоотрицания)
1способ:одновременное сокращение четногочисла пропозициональных отрицаний
1. Выявим содержание, относительно которого выносится суждение. В данном случае это –
поступки,регламентированные нижней палатой.
2. Посчитаем отрицания («отверг»,«отменить»,«запрет»,«уклонение»,«противоречие») – 5.
3. Нечетное число отрицаний говорит о том, что спикер призывает совершать поступки,
нарушающие регламент нижней палаты парламента,чтоне соответствует егофункциям .
2 способ:пошаговое сокращение парпропозициональных отрицаний
1. Спикербезапелляционно отверг домыслы отом,чтоон собирается отменить приказо
запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречиесрегламентом нижней палаты парламента.
2. Спикер поддерживает приказо запрете уклонения от поступков , вступающих в противоречие
срегламентом нижней палаты парламента.
3. Спикер поддерживает поступки,вступающие в противоречие срегламентом нижней палаты парламента.
Ответ: Нет,фактически спикерпризывает кпостоянному нарушениюрегламента.
Кандидаты
На пост президента Умляндии баллотировались три кандидата – Шварцкопф, Вайсман и Грюнбаум.
Шварцкопф:«Второе местозайму я или Грюнбаум».
Вайсман:«Шварцкопф займет третье место».
Грюнбаум:«Вайсман станет президентом».
Как показали результаты выборов, только один из них ошибся, но именно он и стал президентом.
Определите,ктокакое место занял. Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки аналитической работы ссистемами ссылающихся друг на друга высказываний,умение устанавливать логическиеотношения между ними,сопоставлятькаждому извысказываний условия его истинности и ложности,строитьумозаключения)
Решение (разборслучаев):
1. Допустим, что ошибся Шварцкопф. Тогда ни он, ни Грюнбаум не заняли второе место. Значит,
второе место занял Вайсман. Однако тогда ошибся и Грюнбаум, заявивший, что Вайсман станет президентом. Согласно условию, ошибся только один. Противоречие. Следовательно,
Шварцкопф сказалправду,а значит,он не сталпрезидентом.
2. Допустим, что ошибся Вайсман. То есть, именно он стал президентом, заняв 1-е место.
Шварцкопф не занял третье место (вопреки ошибочному прогнозу Вайсмана). Следовательно, он занял 2-е место. Тогда Грюнбаум, не ошибившийся в том, что президентом станет Вайсман,
занимает 3-е место. Шварцкоф тоже говорит правду, ведь он утверждал что он сам или Грюнбаум займет 2-е место(а таки вышло).
3. Допустим, что ошибся Грюнбаум. Значит, президентом стал он, он же занял первое место.
Вайсман, таким образом, президентом не стал (вопреки ошибочному прогнозу Грюнбаума).
Следовательно,Вайсман и Шварцкопф в своих прогнозах не ошиблись (поусл.).
a. Поскольку Вайсман не солгал, значит, согласно его прогнозу, Шварцкопф занял третье место. Однако это противоречит (правдивому) утверждению Шварцкофа о том, что он
(занявший 3-е место) или Грюнбаум (занявший 1-е место) займет 2-е место.
b. Поскольку Шварцкоф не солгал, он занял 2-е место (ведь Грюнбаум уже занял 1-е – п.3).
Тогда также не солгавший Вайман ошибается,утверждая,что Шварцкоф занял 3-е место.
Противоречие. Следовательно,Грюнбаум не ошибся в своем прогнозе.
5. Таким образом, верен только второй случай– Вайсман ошибся в своем прогнозе. Вайсман занял
1-е место,Шварцкопф – 2-е,Грюнбаум – 3-е.
Ответ :Вайсман – 1место, Шварцкопф – 2место,Грюнбаум– 3место.
В одной фирме работают бухгалтер, юрист, менеджер и охранник. Их фамилии: Воробьев, Голубев,
Дроздов и Журавлев. Племянник Дроздова женат на сестре Воробьева (1). Сам Воробьев не женат (2). У
бухгалтера нет ни братьев, ни сестер (3). Менеджер старше брата своей жены – Журавлева (4). Юрист – самый старший извсех четверых (5). Определите,ктоесть кто. Обоснуйте свой ответ.
построения умозаключений)
Решение (метод исключения) :1способ:
1. ПлемянникДроздова женатна сестре Воробьева.
2. Сам Воробьев не женат.
3. Убухгалтера нетни братьев,ни сестер.
4. Менеджер старше брата своей жены – Журавлева.
5. Юрист– самый старший извсех четверых.
6. Дроздов не бухгалтер (пп. 1,3)
7. Воробьев небухгалтер(пп. 1,3)
8. Журавлев не бухгалтер(пп. 3,4)
9. Голубев – бухгалтер (пп. 6,7и 8)
10. Воробьев не менеджер(пп. 2,4)
11. Журавлев не менеджер (п.4)
12. Дроздов – менеджер (пп. 9,10и 11)
13. Журавлев не юрист (пп. 4,5)
14. Воробьев – юрист (пп. 9,12и 13)
15. Журавлев – охранник (пп. 9,12и 14)
2 способ:
1. Голубев – бухгалтер , поскольку про последнего известно, что у него нет ни братьев, ни сестер, в
то время как про Воробьева и Журавлева мы знаем, что у них есть сестры, а у Дроздова – брат или сестра (поскольку есть племянник).
2. Журавлев не юрист и не менеджер,поскольку он моложе их обоих. Значит,онохранник .
3. Воробьев – юрист , поскольку не может быть менеджером, ведь менеджер женат, а Воробьев – нет.
4. Таким образом, Дроздов – менеджер .
Ответ :Голубев – бухгалтер,Журавлев – охранник,Воробьев – юрист,Дроздов– менеджер.
Председатель
Председатель совета директоров камня на камне не оставил от предложенияопротестовать
ратификацию постановления об отказе отоспаривания запрета наприостановление действия дресс-
кода в зданиях корпорации. При этом сам он пришел на заседание в яркой гавайской рубахе и шортах.
Вступает ли такая форма одежды председателя в противоречие с его позицией относительно дресс-
кода?Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки анализа логической формы – а именно,умение выделять пропозициональное содержание суждения и определятьчисло применяемых кнему отрицаний;
также предполагается знание одного изфундаментальных законов классической логики – закона
двойногоотрицания)
1способ:одновременное сокращение четногочисла пропозициональных отрицаний
1. Выявим содержание,относительнокотороговыносится суждение. В данном случае это
действие дресс-кода в зданиях корпорации.
2. Посчитаем отрицания («приостановление»,«запрет»,«оспаривание»,«отказ», «опротестование»,«камня на камне не оставил») – 6.
3. Четное числоотрицаний говорит отом,что председатель правления выступает за действие дресс-кода в зданиях корпорации .
2способ:пошаговое сокращение парпропозициональных отрицаний
1. камня на камне не оставил от предложения опротестовать
ратификациюпостановления об отказеот оспаривания запретана приостановлениедействия дресс-кода в зданиях корпорации.
2. Председатель советадиректоров одобрил ратификациюпостановления оботказе от
оспаривания запрета наприостановление
3. Председатель совета директоров одобрил запрет на приостановление действия дресс-кода в зданиях корпорации.
4. Председатель совета директоров одобрил действие дресс-кода в зданиях корпорации.
Ответ: Да,если толькошорты и рубаха не являютсячастьюдресс-кода данногоучреждения.
Парламент
В парламенте тридесятого государства, состоящем из 100 депутатов, есть только три фракции:
правдорубы, правдофобы и деньгофилы. Правдорубы всегда говорят правду, правдофобы всегда лгут,а
деньгофилы иногда говорят правду, иногда лгут. На вопрос «Какая фракция является самой многочисленной?» 70 депутатов ответили, что большинство составляют правдофобы, 29 сказали, что преобладают правдорубы, а один заявил, что правдорубов и правдофобов поровну. Определите,
сколько на самом деле в этом парламенте правдорубов, правдофобов и деньгофилов. Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки аналитической работы ссистемами ссылающихся друг на друга высказываний,умение устанавливать логическиеотношения между ними,сопоставлятькаждому извысказываний условия его истинности и ложности,строитьумозаключения)
Решение (разборслучаев):
1. Допустим, что 70 человек, ответивших, что большинство составляют правдофобы, сказали правду. Тогда они точно не правдофобы, ведь правдофобы не могли бы сказать правду. Однако
70 человек – явное большинство. Получаем противоречие. Следовательно, эти 70 человек солгали, и вопреки их ответу, правдофобы вовсе не составляют большинство. А учитывая, что эти
70 явно находятся в большинстве, но не являются правдорубами, можно утверждать, что большинствов парламенте составляют деньгофилы.
2. Допустим, что 29 человек, ответивших, что преобладают правдорубы, сказали правду. Но мы уже точно знаем, что большинство в парламенте составляют деньгофилы (п.1). Следовательно,
эти 29 человек тоже соврали – они правдофобы или деньгофилы (возможно, часть из них правдофобы,а часть – деньгофилы).
3. По условию, в парламенте тридесятого государства представлены 3 партии. Значит, обязательно должны быть правдорубы. Однако уже известно, что 99 депутатов солгали. Остался один,
который заявил, что правдорубов и правдофобов в парламенте поровну. Поскольку он точно правдоруб, то его слова являются правдой. А так как он всего один, то (согласно его утверждению) можнозаключить,чтои правдофобв парламенте всегоодин.
4. Итак100– 1 – 1= 98.
Ответ :В парламенте 1правдоруб,1правдофоб и 98деньгофилов.
Спортсмены.
Во время олимпиады четверо спортсменов из разных стран обменялись на память кепками и футболками (причем ни один из них не получил кепку и майку от одного и того же человека). Кепку Майкла получил тот, кому досталась футболка Джона. Кепку Ричарда получил Генри. Джону досталась кепка того,чьюфутболку взялМайкл. Определите,ктокому отдал свои вещи. Обоснуйте свой ответ.
(Задание проверяетнавыки логического анализа систем отношений между заданными объектами,установления тождества объектов на основании перечисленных свойств и отношений,
построения умозаключений)
Решение (метод исключения) :
Для удобства пронумеруем исходные условия и продолжим рассуждение:
1. Ни одинизних не получилкепку и майку отодногои того же человека
2. Кепку Майкла получилтот,кому досталасьфутболка Джона.
3. Кепку Ричарда получилГенри.
4. Джону досталаськепка того,чьюфутболку взялМайкл.
5. Кепку Майкла и футболку Джона получилне Генри(пп. 2,3)
6. Кепку Майкла и футболку Джона не получили Джони Майкл(пп. 1,2)
7. Ричард получилкепку Майкла и футболку Джона (пп. 5,6)
8. Кепку Ричарда получилне Джон (пп.3,4)
9. Футболку Ричарда получилне Майкл(пп. 4,8)
10. Кепку Майкла получилне Джон,а футболку Джонаполучилне Майкл(пп.1,4)
11. Джон получилкепку Генри (пп. 3,7и 8)
12. Майклполучилфутболку Генри (пп. 4,11)
13. Майклполучилкепку Джона (пп.3,7и 11)
14. Генри не получалфутболку Ричарда (пп.1,3)
15. Джон получилфутболку Ричарда (пп. 7,12и 14)
16. Генри получилфутболку Майкла (пп. 7,12и 15)
2 способ:
1. Ни Майкл, ни Джон не могли быть тем человеком, который получил майку от первого и кепку – от второго, поскольку в противном случае один из них стал бы обладателем собственной вещи,
что запрещено по условию. Генри так же не может быть этим человеком, поскольку (по усл.) ему отдал свою кепку Ричард. Значит, именно Ричард – тот, кому Майкл отдал свою кепку, а Джон – футболку.
2. Поскольку Джону досталась кепка того, чью футболку взял Майкл, это снова не могут быть сами Джон и Майкл, иначе они окажутся обладателями собственных вещей. С другой стороны,
Решение логических задач (практикум)
Горбатов В.В., НИУ ВШЭ, 2011 Общие требования и критерии
Задачи на анализ логической формы
Задачи на установление соответствия
Задачи с саморекурсивными условиями
Задачи на установление количественных соотношений
1. Общие требования и критерии
При решении логических задач в олимпиадах по обществознанию не требуется знание специальных логических методов и теорий
Достаточно владеть базовыми аналитическими навыками и соблюдать главные принципы рационального мышления
Картезианские правила метода
Правило очевидности
Правило анализа
Правило последовательности
Правило полноты
Критерии решения
Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования
Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки
Неправильно проанализирована логическая форма
Утверждаемое заключение не следует логически из посылок
Пробел в рассуждениях
Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями
Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
2. Задачи на анализ логической формы
Задача 1
Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами
Тем самым он выступает за свободу причесок или против?
Решение
Свобода причесок (А)
Контроль за прическами (не-А)
Запрет контроля за прическами (не-не-А)
Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А)
Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А)
Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2
Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента
Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно)
Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 3
В одном классе учились три девушки – Лена, Оля и Катя Лена сказала: «Я самая старшая»
Оля сказала: «Я моложе Кати»
Катя сказала «Я старше Лены»
Все они солгали
Расположите их по возрасту, от самой младшей к самой старшей
Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)
Оля – самая старшая
Задача 4
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Определите, кто на самом деле виновен
Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен
3. Задачи на установление соответствия
Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
Общие требования и критерии
Задачи на анализ логической формы
Задачи на установление соответствия
Задачи с саморекурсивными условиями
Задачи на установление количественных соотношений
1. Общие требования и критерии
При решении логических задач в олимпиадах по обществознанию не требуется знание специальных логических методов и теорий
Достаточно владеть базовыми аналитическими навыками и соблюдать главные принципы рационального мышления
Картезианские правила метода
Правило очевидности
Правило анализа
Правило последовательности
Правило полноты
Критерии решения
Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования
Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки
Неправильно проанализирована логическая форма
Утверждаемое заключение не следует логически из посылок
Пробел в рассуждениях
Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями
Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
2. Задачи на анализ логической формы
Задача 1
Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами
Тем самым он выступает за свободу причесок или против?
Решение
Свобода причесок (А)
Контроль за прическами (не-А)
Запрет контроля за прическами (не-не-А)
Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А)
Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А)
Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2
Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента
Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно)
Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 3
В одном классе учились три девушки – Лена, Оля и Катя Лена сказала: «Я самая старшая»
Оля сказала: «Я моложе Кати»
Катя сказала «Я старше Лены»
Все они солгали
Расположите их по возрасту, от самой младшей к самой старшей
Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)
Оля – самая старшая
Задача 4
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Определите, кто на самом деле виновен
Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен
3. Задачи на установление соответствия
Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
При решении логических задач в олимпиадах по обществознанию не требуется знание специальных логических методов и теорий
Достаточно владеть базовыми аналитическими навыками и соблюдать главные принципы рационального мышления
Правило очевидности
Правило анализа
Правило последовательности
Правило полноты
Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования
Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Неправильно проанализирована логическая форма
Утверждаемое заключение не следует логически из посылок
Пробел в рассуждениях
Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями
Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Задача 1
Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами
Тем самым он выступает за свободу причесок или против?
Решение
Свобода причесок (А)
Контроль за прическами (не-А)
Запрет контроля за прическами (не-не-А)
Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А)
Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А)
Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2
Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента
Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно)
Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 3
В одном классе учились три девушки – Лена, Оля и Катя Лена сказала: «Я самая старшая»
Оля сказала: «Я моложе Кати»
Катя сказала «Я старше Лены»
Все они солгали
Расположите их по возрасту, от самой младшей к самой старшей
Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)
Оля – самая старшая
Задача 4
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Определите, кто на самом деле виновен
Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен
3. Задачи на установление соответствия
Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
Лена сказала: «Я самая старшая»
Оля сказала: «Я моложе Кати»
Катя сказала «Я старше Лены»
Все они солгали
Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)
Оля – самая старшая
Задача 4
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Определите, кто на самом деле виновен
Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен
3. Задачи на установление соответствия
Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен
3. Задачи на установление соответствия
Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
4. Задачи с саморекурсивными условиями
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
В≠Хор,Отл (1,2,3)
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор
Задача 6
На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут.
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?
Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет»
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)
Задача 7
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи
Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
Задача 8
В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну»
2-й: «У меня ровно один брат»
3-й: «У меня ровно два брата»
4-й: «У меня ровно две сестры»
Решение
Допустим, что первый ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, но это невозможно, т.к. в семье четное число детей и ни у одного ребенка не может быть братьев и сестер поровну
Следовательно, первый ребенок – мальчик
Решение
Допустим, что второй ребенок – девочка
Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры
Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети № 3 и № 4.
Но при таких условиях ребенок № 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие.
Следовательно, второй ребенок – мальчик
Решение
Поскольку двое детей уже точно являются мальчиками, высказывание четвертого ребенка «У меня ровно две сестры» заведомо ложно
Следовательно, четвертый ребенок – тоже мальчик
Решение
Уже трое детей гарантированно являются мальчиками, и, следовательно, высказывание третьего ребенка «У меня ровно два брата» заведомо ложно
Значит, он тоже является мальчиком
Ответ: все четверо - мальчики
Задача 9
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Решение
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
Ответ: 2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут)
На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Допустим, что 14 человек сказали правду.
Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут
Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Допустим, что 4 сказали правду, т.е. большинство – это химики, которые всегда говорят правду
Однако уже известно, что 14 человек (т.е. как раз большинство) солгали. Значит, они не химики.
Следовательно, эти 4 тоже лгут
Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду.
Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников
Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник
Раз химик всего один, пиротехников – 5. 20-1-5=14 человек алхимиков
Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции
Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Остается вариант с 2-мя химиками
Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5)
Тогда алхимиков 20-10-2=8 человек
2 химика,
8 алхимиков,
10 пиротехников
5. Задачи на установление количественных соотношений
Задача 10
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Решение
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Решение
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Решение
Решение
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Решение
9
. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение
Решение
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
-
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb">
44
Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта">
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет)
При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Сколько всего там логиков?
Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
9 . Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
Критерии решения Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений
Часто встречающиеся ошибки Неправильно проанализирована логическая форма Утверждаемое заключение не следует логически из посылок Пробел в рассуждениях Подмена логических обоснований психологическими (или любыми другими, нерелевантными сути задачи) рассуждениями Подмена логических обоснований примерами или иллюстрациями
Решение Свобода причесок (А) Контроль за прическами (не-А) Запрет контроля за прическами (не-не-А) Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А) Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А) Следовательно, директор за свободу причесок
Задача 2 Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента Соответствует ли позиция спикера его функциям? (проанализируйте самостоятельно) Ответ: нет, не соответствует (5 отрицаний)
Задача 4 Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении, виновен только один из них 1.Джонс сказал: «Это преступление совершил я» 2.Смит сказал: «Это сделал Браун» 3.Браун сказал: «Я не виновен» 4.Только один из них солгал Определите, кто на самом деле виновен
Решение Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен») Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия) По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун Следовательно, Джонс точно сказал правду Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно Следовательно, Джонс виновен
Задача 5 В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник. 1.Борисов иногда списывает у хорошиста 2.Андреев иногда списывает у отличника 3.Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает Расположите их в порядке успеваемости
Задача 6 На одном острове живут два племени. Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут. Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?» Тот отвечает: «Тарабара» «Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец» К какому племени принадлежит каждый из них?
Задача 7 В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто. 1: справа от меня бог Истины 2: я – бог Дипломатии 3: слева от меня бог Лжи
Задача 8 В семье четверо детей, причем все мальчики в ней (если таковые есть) лгут, а все девочки (если таковые есть) говорят правду 1-й ребенок сказал: «У меня сестер и братьев поровну» 2-й: «У меня ровно один брат» 3-й: «У меня ровно два брата» 4-й: «У меня ровно две сестры» Определите, сколько в этой семье мальчиков
Решение Допустим, что второй ребенок – девочка Тогда её высказывание должно быть истинным, т.е. у нее должен быть один брат и две сестры Поскольку первый ребенок уже точно является мальчиком (см. выше), девочками должны быть дети 3 и 4. Но при таких условиях ребенок 3 не может быть девочкой, т.к. говорит явную ложь: «У меня ровно два брата». Противоречие. Следовательно, второй ребенок – мальчик
Задача 9 В конференции по флогистоноведению участвовали 20 человек – химики (всегда говорят правду), алхимики (всегда лгут) и пиротехники (иногда говорят правду, иногда лгут) На вопрос «Кого здесь больше?» четверо участников ответили, что большинство составляют химики, 14 заявили, что преобладают алхимики, а двое сказали, что на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Сколько на самом деле там было химиков, алхимиков и пиротехников?
Решение Допустим, что 14 человек сказали правду. Однако это невозможно, ведь они уже составляют большинство от 20, при этом утверждают, что большинство – алхимики, т.е. те, кто всегда лгут Значит, эти 14 человек солгали, и большинство не являются алхимиками
Решение Поскольку известно, что на конференции были химики, ничего не остается, кроме как сделать вывод, что двое оставшихся сказали правду. Т.е., на каждого химика приходится ровно пять пиротехников Теперь важно понять, оба ли, сказавших правду, являются химиками или только один, а второй – пиротехник, случайно сказавший в этот раз правду
Решение Допустим, что химик только один, а второй – пиротехник Раз химик всего один, пиротехников – =14 человек алхимиков Однако уже известно (п.1), что алхимики не составляют большинство на этой конференции Следовательно, вариант с 1 лишь химиком не подходит
Решение Остается вариант с 2-мя химиками Тогда пиротехников 10 (т.е. 2*5) Тогда алхимиков =8 человек Ответ: 2 химика, 8 алхимиков, 10 пиротехников
Задача 10 В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов среди сотрудников института нет) При этом каждый 10-й программист является математиком, каждый 5-й математик является программистом, а среди логиков треть является программистами и треть – математиками Сколько всего там логиков?
Решение Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком» Значит, их либо 10, либо программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом» Следовательно, программистов – 10 человек
Решение ПрМ 9 14 Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист- математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков = 6
6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" class="link_thumb"> 44 Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б"> 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта"> 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б" title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б"> title="Решение Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6) Значит, их может б">
Решение Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3 Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди Решение Допустим, общее число логиков – 12 Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6 Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами Решение Допустим, общее число логиков – 15 Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9 Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Ответ ПрМ Л
