План урока первообразная и неопределенный интеграл. Первообразная

11 класс Орлова Е.В.

«Первообразная и неопределённый интеграл»

СЛАЙД 1

Цели урока:

Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.

Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

определение производной

первообразная определяется неоднозначно.

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

Ход урока

Организационный момент СЛАЙД 2

Проверка домашнего задания

Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.

На доске записи:

Производная –производит « на свет новую функцию».

Первообразная – «первичный образ».

4. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении .

Дифференцирование-отыскание производной.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

5.Устные упражнения: СЛАЙД 3

вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.

выполняется самопроверка учащимися.

корректировка знаний учащихся.

5. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении. СЛАЙД 4

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике.

Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

В) Вводится определение первообразной, неопределённого интеграла

СЛАЙД 5, 6

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Г) Таблица первообразных СЛАЙД 7

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах СЛАЙД 8

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа.

6.Физминутка СЛАЙД 9

7. Первичное осмысление и применение изученного. СЛАЙД 10

8. Постановка домашнего задания СЛАЙД 11

9. Подведение итогов урока. СЛАЙД 12

В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.

Все понял(а), все успел(а).

частично не понял(а), не все успел(а).

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока : Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

• Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
• Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
• Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

Первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?

12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

Произвольная постоянная.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x ) на промежутке [ a ; b ] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [ a ; b ] .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

s – перемещение,

А – ускорение

A(t) =

A - работа,

F – сила,

N - мощность

F(x) = A"(x)

N(t) = A"(t)

m – масса тонкого стержня,

Линейная плотность

(x) = m"(x)

q – электрический заряд,

I –сила тока

I(t) = q(t)

Q – количество теплоты

С - теплоемкость

c(t) = Q"(t)

Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке функций и таких, что для всех x вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

Найдите неопределенный интеграл: (устно)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ответы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

III Решение заданий с классом

1. Вычислите определенный интеграл: (в тетрадях, один учащийся на доске)

Задачи по рисункам с решениями:

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.

Решение.

-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cos п/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур (самостоятельная работа в парах)

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?

Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ

« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».

2 часа.

11 а класс с углубленным изучением математики

Проблемное изложение.

Проблемно – поисковые технологии обучения.

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Активизировать мыслительную деятельность;

Способствовать усвоению способов исследова-

ЗАДАЧИ УРОКА:

• 
  ввести понятие первообразной;
• 
  доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
• 
  ввести определение неопределенного интеграла;
• 
  доказать свойства неопределенного интеграла;
• 
  отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

• 
  повторить правила и формулы дифференцирования
• 
  понятие дифференциала.

Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

цирования).

скорость в любой момент времени.

через проводник выражается формулой q (t) = 3t - 2 t,

выведите формулу для вычисления силы тока в любой

момент времени t.

3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-

мени, найти закон его движения.

1. 
   Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-

определения количества электричества, проходящего

через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя

имеющиеся у нас средства?

(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x) ее производную.

Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?

Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е.
f (x) = F(x) .

неопределенным интегрированием.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

на доске).

ке X, называют первообразной для функции задан-

ной на том же промежутке, если для всех x X

выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция

x является первообразной на всей числовой оси

для функции 2x.

Используя определение первообразной, выполните упражнение

ной для функции f, если

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x +
, f (x) = 4x sinx + x cosx +
.

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

руя свои действия.

Является ли функция х единственной первообразной

для функции 2х?

Учащиеся приводят примеры

х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

является первообразной функции х.

учителя.

ную F, то для любого числа С функция F + C также

является первообразной для f . Иных первообразных

функция f на Х не имеет.

F (x) = f (x) для всех х Х.

Тогда для х Х для любого С имеем:

(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже

первообразная f на Х.

б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f

не имеет.

Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно

Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда

Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная

функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-

ных для данной функции?

Вывод формулируют учащиеся:

Задача отыскания всех первообразных, решается

отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб-

разная найдена, то любая другая получается из нее

прибавлением постоянной.

называют неопределенным интегралом этой

функции.
Обозначение.
; - читается интеграл.
= F (x) + C, где F – одна из первообразных

для f , С пробегает множество

действительных чисел.

f - подынтегральная функция;

f (x)dx - подынтегральное выражение;

х - переменная интегрирования;

С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.

.

Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

Тема урока : Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Цели урока:

Образовательные:

ознокомить студентов с понятиями первообразной и неопределенного интеграла, основным свойством первообразной и правилами нахождения первообразной и неопределенного интеграла.

Развивающие:

развивать навыки самостоятельной деятельности,

активизировать мыслительную деятельность, математическую речь.

Воспитательные:

воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

формировать ответственность за конечный результат.

Тип урока : сообщения новых знаний

Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.

Обеспечение урока :

Мультимедийное оборудование и программное обеспечение для показа презентации и видео;

Раздаточный материал: таблица простейших интегралов (на этапе закрепления).

Структура занятия.

1. Организационный момент (2 мин.)

Мотивация учебной деятельности. (5 мин.)

Изложение нового материала. (50 мин.)

Закрепление изученного материала. (25 мин.)

Подведение итогов занятия. Рефлексия. (6 мин.)

Сообщение домашнего задания. (2 мин.)

Ход занятия.

Организационный момент. (2 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

Мотивация учебной деятельности.( 5 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства». (Слайд 1)

Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла. (Слайд 2)

Учащиеся записывают дату и тему занятия.

3. Изложение нового материала (50 мин)

Приемы преподавания

Приемы учения

1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f (х)= х 9 , мы знаем что f ′(х)= 9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f ′(х)= 6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f (х)= х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))

Определение 1 : Функция F ( x )называется первообразной для функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ], есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f ( x )

Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )=х 5 -5х f (х)=5 х 4 -5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5 х 4 -5.

Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )= не является первообразной для функции f (х)= .

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например: (слайд 7)

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F ( x ) - одна из первообразных для функции f (х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G ( x )= F ( x )+ C , где С действительное число.

(Слайд 8) таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f , а G – первообразная для g , то F + G – есть первообразная для f + g .

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .

(kF )’ = kF ’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f , а k и b – постоянные (), то функция

Первообразная для f (kx + b ).

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2 : Выражение F ( x ) + C , где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f (x ), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f (x ) .

В равенстве (1) функцию f (x ) называется подынтегральной функцией , а выражение f (x ) dx – подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a = const , то

Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

4. Таблица простейших интегралов

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными . Отметим частный случай формулы 1:

Приведем еще одну очевидную формулу:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №24 р. п. Юрты

Иркутской области.

Учитель Трушкова Наталья Евгеньевна.

Нестандартные формы закрепления, проверки знаний и умений учащихся по математике.

Национальная образовательная инициатива «Наша новая школа» предполагает применение в образовательном процессе индивидуального подхода, использование таких образовательных технологий и программ, которые развивают у каждого ребёнка интерес к процессу обучения. Решение этих задач требует обеспечения компетентностного подхода в обучении, взаимосвязи академических знаний и практических умений.

Огромные возможности для активизации познавательного интереса учащихся имеют уроки обобщения и систематизации знаний, интегрированные уроки, нетрадиционные уроки.

Важный вопрос, который волнует каждого учителя,- как сделать уроки математики интересными, нескучными и запоминающимися? Предлагаемый материал помогает решить эту задачу, призван помочь в организации нестандартных уроков. На уроке прослеживается связь теории и практики, сознательности и активности, положительной мотивации и благоприятного эмоционального фона. Эти принципы предполагают создание атмосферы сотрудничества между учителем и учащимися, между самими учащимися, стимулирование интереса учащихся.

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы. Поэтому в своей практике я уделяю серьёзное внимание способам организации контроля, его содержанию.

Урок-зачет (тематический)

по теме «Первообразная и интеграл». 11 класс. (2 урока).

Тема: Первообразная и интеграл.

Цели:

1. Проверить теоретические знания учащихся по теме.

2. Проверить умения, навыки учащихся по нахождению первообразной, вычислению площади криволинейной трапеции, вычислению интегралов.

3. Выявить пробелы в знаниях учащихся с целью их устранения перед контрольной работой.

4. Воспитывать у учащихся ответственное отношение к учёбе, ответственность перед товарищами, сопереживание.

Универсальные учебные действия (УУД), которые будут формироваться в ходе урока

Личностные:

Сформированность коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками;

Сформированность ответственного отношения к учению;

Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

Слушать и понимать других;

Строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами;

Коммуникативные:

Согласованно работать в группе:

Контроль оценки и действий партнёра;

С достаточной точностью выражать свои мысли.

Регулятивные:

Контроль (сличение с заданным эталоном).

Коррекция и оценка знаний и способов действий.

Оборудование:

а) компьютер, мультимедийный проектор, экран, слайды.

б) карточки;

в) раздаточные доски;

г) мел, тряпочки;

д) жетоны;

е) указатели столов.

Ход урока.

Сообщение темы и целей урока (тема урока записана на доске).

Сообщение учителем итогов подведения зачёта (таблица записана на доске).

Класс работает по группам 4 – 5 человек (столы сдвинуты по два).

Представитель каждой группы выходит к столу учителя и берет теоретический вопрос (карточки с вопросами перевернуты). Группа готовится к ответу таким образом, чтобы любой ученик группы мог ответить на этот вопрос у доски.

На подготовку вопроса теории – 10 минут. По истечении этого времени каждой группе даются на подносах жетоны, где на одном из них стоит знак «+». Ученики по берут жетоны. Тот ученик, которому достался жетон с «+», идёт отвечать к доске на вопрос теории.

Группы готовят ответы на теорию на раздаточных досках, которые затем используют при ответе.

Каждый теоретический вопрос оценен баллом «3», кроме карточки №5. За ответ по карточке №5 дается 5 баллов.

Одна группа отвечает, остальные слушают и рецензируют ответ, дают оценку ответу (за 1 балл).

4.Проверка теории по карточке №1. Слайд 1.

Проверка теории по карточке №2. Слайд 2.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №3. Слайд 3.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №4. Слайд 4.

(за правильный ответ на примеры – 1 балл).

Проверка теории по карточке №5. Слайд 5.

(за правильный ответ на примеры– 1 балл).

После проверки теоретического материала объявляются итоги.

Во время перемены столы расставляются обычным образом.

1 ученик у доски:

После этого учащимся раздаются задания по вариантам (за каждое правильно решенное задание – 2 б); всего – 10 баллов.

Те учащиеся, которые быстро решат все задания, получают дополнительное задание (2 примера) по вариантам. (Каждый пример – 3 балла).

После того, как все карточки сданы на проверку, у доски решается задание (1 ученик у доски), остальные решают в рабочих тетрадях.

Если останется время:

1 вариант		2 вариант
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +3; у=2х.		Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +2;
Вычислите интегралы:

Объявляются итоги по зачету.

Для подсчета баллов удобно сделать таблицу:

2 вариант

Такая же таблица делается для 1 варианта. Для подсчёта баллов привлекаются учащиеся другого 11 класса.

Главная » Понятие » План урока первообразная и неопределенный интеграл. Первообразная