Немецкий математик и астроном-теоретикАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы – обычная жизнь профессора.

Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.

Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?

На языке математики – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхностьс краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.

Достаточно сложное определение!

Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.

В другой раз "мама бы по головке за такую работу не погладила"! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.

Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край – это и называется односторонней поверхностью.

Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!

Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем – это односторонняя поверхность с краем.

1. Разрежьте ленту Мебиуса вкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.

2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.

3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.

Году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).

Свойства

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Геометрия и топология

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:

где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Подобные объекты

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).

Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).

Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.

Открытые проблемы

ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .

Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Ленобласть
• Лента Мёбиуса

Смотреть что такое "Лента Мебиуса" в других словарях:

Лента мебиуса - Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия

ЛЕНТА МЕБИУСА - Группа была образована 29 марта 1996 г. Николаем Марконовым (вокал, гитара, тексты) экс Аниматоры. В группу приходят Алексей Шубенко (бас), (гр. Мотохулиганы), Валерий Быстрое (соло), (гр. Буш билдинг), Олег Буробин (ударные), (гр. Старик… … Русский рок. Малая энциклопедия

Лента Мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия

Лента мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.… … Википедия

Мы обратили внимание на то, что в нашем блоге достаточное количество вопросов посвящено теме маркировки упаковки в части указания сведений о возможности утилизации. В техническом регламенте Таможенного союза «О безопасности упаковки» для этих целей используется петля Мебиуса. При этом в самом документе не приводится подробных указаний о том, что собой представляет такой символ. Именно поэтому мы решили немного подробнее познакомиться с петлей Мебиуса.

Для понимания сути петли Мебиуса обратимся за толкованием к мировой практике.

Согласно международным нормам, символ петли (ленты) Мебиуса используется только в случаях подтверждения соответствия экологическим требованиям. Такой знак относится к экологической маркировке. Знак может применяться только в качестве информирования о том, что материал (или его часть) продукции является повторно переработанным или, наоборот, применяемые материалы могут быть вторично использованы после утилизации. Нанесение петли Мебиуса без соответствующих доказательств по международным нормам недопустимо.

Для справки: петля Мебиуса относится к символам экологической маркировки по типу II. Этот тип не требует получения отдельных документов о соответствии заданным нормам безопасности, ответственность за соблюдение требований ложится на самого производителя.

Общепринятым изображением петли Мебиуса является «широкий» вариант символа, который регламентирован формой к знаку № 1135 ИСО 7000. Именно такое исполнение применяется для информирования о переработки продукции.

Также символическое изображение петли Мебиуса получило распространение и применяется для обозначения вида полимера. При этом в петле Мебиуса проставляется цифровое и буквенное обозначение пластика, которого насчитывается шесть основных разновидностей:

Возможно, в будущем узкие стрелки в виде петли Мебиуса при маркировке полимерных материалов могут быть заменены равносторонним треугольником. С такой инициативой выступил Международный комитет по полимерам американского общества по испытанию материалов (ASTM). За основу предложения принят тот факт, что использование стрелок в виде ленты Мебиуса применяется, прежде всего, в контексте вторичной переработки, и ставит на второй план основную цель данной системы маркировки - отображение состава продукции.

Остановимся немного подробнее на самих требованиях к маркировке петлей Мебиуса: обратимся к тексту российского стандарта ГОСТ Р ИСО 14021-2000 «Этикетки и декларации экологические. Самодекларируемые экологические заявления (Экологическая маркировка по типу II)».

В подпункте 5.10.1 о специальных знаках приведены основные положения о петле Мебиуса. Исходя из текста стандарта, следует, что такой символ должен быть использован только для заявлений о рециклированном или рециклируемом содержимом.

Для справки: в случае рециклированного содержания речь идет о доле уже переработанного материала в продукции; рециклируемое содержание говорит о возможности дальнейшей переработки. В первом случае обязательно указывается массовая доля материала, который был переработан. Для рециклируемого содержимого петля Мебиуса наносится без дополнительных цифровых изображений.

В заключении хочется отметить практический опыт нанесения петли Мебиуса: в российской системе у производителей/продавцов нет единого подхода к маркировке знаком об утилизации. В обращение поступают товары с различными интерпретациями петли Мебиуса. Такое разнообразие связано с тем, что в нашем законодательстве нет единого документа, в котором были бы четко прописаны правила применения петли Мебиуса.

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка, А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Получим такое перекрученное кольцо . И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите — проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны . Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим… Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то.

Теперь второй вопрос. Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа. А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажу. Разрежьте сами.

Разрезали? Отлично. Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю? То же самое? А ничего подобного. А если на три части? Три ленты? А ничего подо… И так далее. Исследуйте дальше эту поразительную (и тем не менее совершенно реальную) одностороннюю поверхность, и вы получите море удовольствия. И уж это всяко успокаивает расстроенные форумными спорами нервы, уверяю вас. Что может быть пользительнее Чистого Знания?

Лист Мёбиуса — один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому — «геометрия положений»). Удивительные свойства листа Мёбиуса — он имеет один край, одну сторону , — не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

А почитать подробнее можно в прекрасной книге «Волшебный двурог» Сергея Павловича Боброва, глава 8 . Каковую книгу можно скачать (или ). Вот только формат файлов там особый: DjVu, а что делать, чтоб его открыть, написано , и ничего сложного там нет. Устанавливается читалка Дежавю и открывает эти файлы в формате, похожем на формат pdf, только они не такие громоздкие. Но с картинками! Хотя это книга в общем-то детская, но она в то же время совсем не простая, а написана очень здорово, живо и увлекательно. Дети ее читают с упоением, а вот взрослым она может оказаться не по зубам! Поэтому давайте, давайте ее детям, разумеется не детсадовцам, а классе так в 6−7−8. Но не позже. Это веселая, добрая книга, и в то же время грандиозная пища для ума!

Лента Мёбиуса была обнаружена немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом в 1858 г. Август Фердинанд Мёбиус — немецкий геометр, профессор Лейпцигского университета первой половины XIX века. До него считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны. Мёбиус сделал поразительное открытие — получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону.
Говорят, что придумал свою ленту Август Фердинанд Мёбиус, когда наблюдал за горничной, которая надевала на шею шарф.

Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. А может быть, и еще где-нибудь.

Роскошную ленту Мебиуса изобразил на картине неистощимый на выдумку Морис Эшер.

30.07.11 Пожалуй, самую первую необычную фигуру придумал в середине ХIX столетия Август Мёбиус. Это был так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция.

Легко убедиться, что у этой фигуры всего одна поверхность!

Представьте себе что, например, по ленте Мёбиуса бежит муравей. Впрочем, поступим проще: посмотрим на ленту Мёбиуса, изображенную на хорошо известном рисунке Мориса Эшера.

Сделав круг, муравей прибегает к тому же месту, откуда он начал движение, но при этом оказывается с противоположной стороны плоской ленты! Естественно, пробежав еще один круг, он вернется в точку старта. (Конечно же, предполагается, что муравей не может перебраться через край ленты.)

Август Фердинанд Мёбиус (1790 - 1868)

Немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Основные труды по геометрии. Впервые ввел в проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, исследовал коррелятивные преобразования. Впервые установил существование односторонних поверхностей.

Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Ну, что же, может быть, может быть! Ведь Исаак Ньютон тоже тянул с открытием всемирного закона тяготения, пока ему на голову не свалилось яблоко.
Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который, кстати, пустил в математический обиход и термин «топология».

Лента Мёбиуса сразу же привлекла внимание математиков. Одной из любопытных задач является следующая: какой длины (при заданной ширине) должна быть полосочка, чтобы ее можно было свернуть в лист Мёбиуса? Очень важный практический вопрос, неправда ли?

Но дело не ограничивается простой «классической» лентой Мёбиуса. Склейте ленту Мёбиуса из широкой полоски бумаги и попробуйте разрезать ее вдоль по средней линии. Начальная фаза разрезания показана на левом рисунке. А когда вы разрежете это кольцо до конца, то … увидите опять ленту Мёбиуса, правда, более «завинченную» (правый рисунок). Но муравей, начавши ползти опять пробежит по обеим сторонам полоски и вернется в точку старта.

Кстати, фокусники, разрезающие на удивление зрителей ленту Мёбиуса, называют получившуюся в результате фигуру почему-то «афганской лентой». Но не думайте, что на этом чудеса с лентой Мёбиуса закончились. А что получится, если полоску повернуть несколько раз перед склеиванием?

Все зависит от того, насколько закручена лента. При одном скручивании от простого кольца мы переходим к лента Мёбиуса.

Ну, а что же получится при двойном повороте ленты перед склеиванием? Оказывается, что в этом случае получается просто «закрученное» кольцо. Но если ленту повернуть перед склеиванием еще раз в том же направлении. То опять получится лента Мёбиуса, но уже «закрученная»!

Для удобства объяснения сути производимых операций выбрана лента, одна сторона которой белая, а вторая – серая. Тогда совершенно понятно, что сколько бы мы раз ни скручивали ленту, если окажется что ее так, что на стыке «встретились стороны с одним и тем же цветом, то это означает, что у склеенной ленты будет две поверхности – одна белая, а другая серая, т.е. будет образовано кольцо с винтообразной образующей лентой. Если же на стыке при склеивании серая сторона «встретится с белой, то после склеивания мы получим уже ленту Мёбиуса, хотя и тоже замысловатую. У нее будет всего одна поверхность: ведь Эшеровский муравей бегая по белой стороне, добегает в конце концов до границы, где начинается серая сторона и продолжает бежать уже по ней.

Интересны и свойства цепей, образованных плоскими кольцами и лентами Мёбиуса.

Соединим плотно два обычных плоских кольца и запустим Эшеровского муравья ползать по внешней поверхности левого кольца. Когда он доползает до места соединения колец, то он может перебраться на внутреннюю поверхности второго кольца. Если же запустить второго муравья на внутреннюю поверхность левого кольца, то он может перебраться на внешнюю поверхность правого кольца. Иначе говоря, два эти муравья никогда не встретятся – каждый будет ползать по своей поверхности.

Понятно, что если таким образом построить цепь плоских колец или цепь из лент Мёбиуса, то эти свойства у них сохранятся.

С лентой Мёбиуса можно продолжить интересные эксперименты и дальше. Сделайте заготовку из листа бумаги, как показано на рисунке. Разрежьте по линиям, а затем каждую из получившихся полосочек, не отделенных от основной части, сверните в лист Мёбиуса. Получится этакая многоэтажная конструкция.

Конечно, на рисунке дано схематичное представление полученной структуры. Реальная «фракталообразная» фигуры такого типа выглядит гораздо более замысловато.

Вот по такому «кусту Мёбиуса» муравей бы вдосталь напутешествовался! Подобного рода многоярусных и вложенных друг в друга лент Мёбиуса можно понапридумать, конечно, очень много.

В заключение приведем еще образец фигуры, которая обладает свойствами ленты Мёбиуса и при этом ни одна из сторон не скручена. Конечно, без маленьких хитростей дело не обошлось: попасть с внешней стороны на внутреннюю можно по «эскалатору» в центре кольца.

«Дырявое» кольцо, обладающее свойствами ленты Мёбиуса.

Очень легко подобного рода кольцо сделать даже с двумя эскалаторами, что обеспечит возможность муравью сделать полный цикл, не побывав ни разу в одной и той же точке (если, конечно, он не будет делать петель, а будет двигаться только вперед).

Главная » Понятие » Лента Мебиуса и ее сюрпризы. Научные игрушки