Векторы для чайников. Действия с векторами

Еще со школьной скамьи нам известно, что такое вектор – это отрезок, который имеет направление и характеризуется численным значением упорядоченной пары точек. Число, равняющееся длине отрезка, который служит основой, определяется как длина вектора . Для ее определения мы будем использовать систему координат . А также учитываем еще одну характеристику – направление отрезка . Для того, чтобы найти длину вектора, можно воспользоваться двумя способами. Самый простой – берем линейку и измеряем, какова же она будет. А можно воспользоваться формулой. Этот вариант мы сейчас и рассмотрим.

Необходимо:

— система координат (х, у);
— вектор;
— знания по алгебре и геометрии.

Инструкция:

• Формулу определения длины направленного отрезка запишем следующим образом r²= x²+y² . Извлекаем корень квадратный из r² и полученное число будет результатом. Чтобы найти длину вектора, совершаем следующие действия. Обозначаем начальную точку координат (х1;у1) , конечная точка (х2;у2) . Находим x и y путем разности координат конца и начала направленного отрезка. Проще говоря, число (х) определяем по следующей формуле х=х2-х1 , а число (у) соответственно у=у2-у1 .
• Находим квадрат суммы координат по формуле x²+y² . Извлекаем корень квадратный из полученного числа, который и будет длиной вектора (r) . Решение поставленной задачи упростится, если сразу будут известны начальные данные координат направленного отрезка. Все, что потребуется – это подставить данные в формулу.
• Внимание! Вектор может находиться не на плоскости координат, а в пространстве, в таком случае к формуле прибавится еще одно значение, и она будет иметь следующий вид: r²= x²+y²+ z² , где – (z) дополнительная ось, помогающая определить величину направленного отрезка в пространстве.

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок , т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В - его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом \(\overrightarrow{AB} \), причем первая буква означает начало вектора, а вторая - его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается \(\vec{0} \) или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается \(|\overrightarrow{AB}| \) или \(|\vec{a}| \).

Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются равными (\(\vec{a} = \vec{b} \)), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

На рис. 1 изображены слева неравные, а справа - равные векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \). Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось \(u \) и некоторый вектор \(\overrightarrow{AB} \). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси \(u \). Обозначим через А" и В" точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Проекцией вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) называется величина А"В" направленного отрезка А"В" на оси \(u \). Напомним, что
\(A"B" = |\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) совпадает c направлением оси \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) противоположно направлению оси \(u \),
Обозначается проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) так: \(Пр_u \overrightarrow{AB} \).

Теорема
Проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) равна длине вектора \(\overrightarrow{AB} \) , умноженной на косинус угла между вектором \(\overrightarrow{AB} \) и осью \(u \) , т.е.

Замечание
Пусть \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2} \) и задана какая-то ось \(u \). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор \(\overrightarrow{AB} \). Пусть, далее, \(X = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow{AB} \). Проекции X, Y, Z вектора \(\overrightarrow{AB} \) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
\(\overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) \)

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) и B(x 2 ; y 2 ; z 2), координаты вектора \(\overrightarrow{AB} \) определяются следующими формулами:

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Замечание
Если вектор \(\overrightarrow{AB} \) выходит из начала координат, т.е. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, то координаты X, Y, Z вектора \(\overrightarrow{AB} \) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Направляющие косинусы вектора

Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Но \(|OA| = |\vec{a}|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); таким образом, получаем
\(|\vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
или
\(|\vec{a}| = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \)
Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) углы между вектором \(\vec{a} \) и осями координат. Из формул проекции вектора на ось и длины вектора получаем
\(\cos \alpha = \frac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \beta = \frac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \gamma = \frac{Z}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) называются направляющими косинусами вектора \(\vec{a} \) .

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Сложение двух векторов

Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью \(\vec{b} - \vec{a} \) векторов \(\vec{b} \) и \(\vec{a} \) называется вектор, который в сумме с вектором\(\vec{a} \) дает вектор \(\vec{b} \) (см. рисунок).

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора \(\vec{a},\;\; \vec{b}, \;\; \vec{c} \). Сложив \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} \). Прибавив теперь к нему вектор \(\vec{c} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \)

Произведение вектора на число

Если \(\lambda =0 \) или \(\vec{a} = \vec{0} \), то произведение \(\lambda \vec{a} \) считаем равным нулевому вектору.

Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) коллинеарны и \(\vec{a} \neq \vec{0} \), то существует (и притом только одно) число \(\lambda \) такое, что \(\vec{b} = \lambda \vec{a} \)

Основные свойства линейных операций

1. Переместительное свойство сложения
\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)

2. Сочетательное свойство сложения
\((\vec{a} + \vec{b})+ \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c}) \)

3. Сочетательное свойство умножения
\(\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a} \)

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
\((\lambda +\mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} \)

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
\(\lambda (\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \)

Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
\(Пр_u (\vec{a} + \vec{b}) = Пр_u \vec{a} + Пр_u \vec{b} \)

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема
При умножении вектора \(\vec{a} \) на число \(\lambda \) его проекция на ось также умножается на это число, т.е. \(Пр_u \lambda \vec{a} = \lambda Пр_u \vec{a} \)

Следствие
Если \(\vec{a} = (x_1;y_1;z_1) \) и \(\vec{b} = (x_2;y_2;z_2) \), то
\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Следствие
Если \(\vec{a} = (x;y;z) \), то \(\lambda \vec{a} = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) для любого числа \(\lambda \)

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство \(\vec{b} = \lambda \vec{a} \) равносильно равенствам \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \) или
\(\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} \) т.е. векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \) - единичные векторы осей координат, т.e. \(|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 \), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \) называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор \(\vec{a} \) может быть единственным образом разложен по базису \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k}\; \), т.е. представлен в виде
\(\vec{a} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} + \nu \vec{k} \)
где \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) - некоторые числа.

Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=^2+^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

Oxy

О А ОА .

, откуда ОА .

Таким образом, .

Рассмотрим пример.

Пример.

Решение.

:

Ответ:

Oxyz в пространстве.

А ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА ОА .

Таким образом, длина вектора .

Пример.

Вычислите длину вектора

Решение.

, следовательно,

Ответ:

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0 , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox ;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy ;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox ;

5) x = 0 - ось Oy .

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox ; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C , если и произвольно, если C = 0 .

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О ) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА .

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат , то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Главная » Недвижимость » Векторы для чайников. Действия с векторами