Объяснение законов фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна

Уравне́ния Эйнште́йна (иногда встречается название «уравнения Эйнштейна - Гильберта » ) - уравнения гравитационного поля в общей теории относительности , связывающие между собой метрику искривлённого пространства-времени со свойствами заполняющей его материи . Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна », так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных.

Выглядят уравнения следующим образом:

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_{\mu\nu} - тензор Риччи , получающийся из тензора кривизны пространства-времени Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_{abcd} посредством свёртки его по паре индексов , R - скалярная кривизна , то есть свёрнутый тензор Риччи, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{\mu\nu} - метрический тензор , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Lambda - космологическая постоянная , а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_{\mu\nu} представляет собой тензор энергии-импульса материи, (π - число пи , c - скорость света в вакууме, G - гравитационная постоянная Ньютона).

Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры симметричны , то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям. Тождества Бьянки приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.

В более краткой записи

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} - тензор Эйнштейна , который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.

Часто лямбда-член Λg μν в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:

Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, c = G = 1 (т. н. геометризованная система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:

Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть).

Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность , приводящая к невозможности использования при их решении принципа суперпозиции .

Исторический очерк

Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория Ньютона , так и поправки к ней. Первые точные решения были получены Шварцшильдом для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской космологии .

Решения

Решить уравнение Эйнштейна - значит найти вид метрического тензора g μν пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий , координатных условий и написанием тензора энергии-импульса T μν , который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса решения уравнения Эйнштейна можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии тензора Вейля данного пространства (классификация Петрова).

См. также

• Математическая формулировка общей теории относительности

Напишите отзыв о статье "Уравнения Эйнштейна"

Литература

• Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979.
• Вейнберг С. Гравитация и космология = Gravitation and Cosmology. - М .: Мир, 1975. - 695 с.
• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900-1915). М.: Наука, 1981.
• Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. - 416с.
• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика », том II). - ISBN 5-02-014420-7.
• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991.

Примечания

Отрывок, характеризующий Уравнения Эйнштейна

В предыдущей главе локальные свойства однородной изотропной космологической модели были получены в рамках ньютоновской теории. Разумеется, для последовательного рассмотрения космологической проблемы ньютоновской теории недостаточно. Действительно, в § 1 гл. 1 нам приходилось предполагать, что в рамках ОТО, так же как и в классической ньютоновской теории, внутри сферической полости, выделенной во Вселенной, однородное, изотропно расширяющееся внешнее вещество никакого гравитационного поля не создает. Для доказательства, разумеется, надо обратиться к ОТО. Кроме того, уравнения ОТО совершенно необходимы, когда мы от локальной проблемы переходим к изучению больших областей пространства, в которых собственное тяготение вещества уже не мало и не мала скорость расширения. Рассмотрение таких областей совершенно необходимо при анализе распространения света от далеких галактик, подсчете слабых галактик и т. д.

Итак, после элементарного разъяснения сути законов расширения Вселенной обратимся к последовательному их выводу из уравнений Эйнштейна. Мы предполагаем, что читатель знаком хотя бы с элементарными основами ОТО. Для понимания дальнейшего достаточно сведений об ОТО, изложенных в гл. 1 ТТ и ЭЗ. Непревзойденным по четкости и экономности остается изложение ОТО в последних главах «Теории поля» Ландау и Лифшица.

Мы будем строить однородную изотропную модель Вселенной, т. е. модель, в которой все точки равноценны и все направления эквивалентны, ничем не выделены. В такой модели трехмерное пространство должно быть однородным и изотропным. Конечно, это трехмерное пространство вовсе не обязано быть евклидовым пространством, так как согласно ОТО геометрические свойства пространства зависят от материи, ее плотности и движения. Это может быть любое однородное изотропное трехмерное пространство. Из математики известно, что таким пространством является пространство постоянной кривизны (не зависящей от направления и от

пространственных координат). Квадрат элемента длины в таком пространстве записывается в виде

где , величина а - постоянная, имеющая размерность длины. Если то мы имеем дело с обычным евклидовым пространством (иногда его называют «плоским» пространством) и обычные декартовы координаты. При пространство называют пространством постоянной положительной кривизны, при пространством постоянной отрицательной кривизны. Величину а называют радиусом кривизны пространства, а величину (гауссовой) кривизной пространства. Мы отложим рассмотрение геометрических свойств этих пространств до следующих параграфов.

Радиус кривизны а является естественной единицей длины для измерения расстояний в случае Поэтому перейдем к новым безразмерным координатам:

Теперь (2.1.1) перепишется в виде

Выражение (2.1.3) формально справедливо и для только в этом случае а - произвольный масштабный множитель. Для евклидова пространства масштаб а ничем не выделен и может быть выбран произвольно. Рассматривая а как переменную величину (функцию времени), можно описать деформацию системы отсчета.

Теперь нашей задачей является написать выражение для четырехмерного интервала Пространственную часть интервала мы уже выписали [см. (2.1.3)].

В системе отсчета, в которой трехмерное пространство однородно и изотропно и метрика которого имеет вид (2.1.3), материя не может двигаться относительно системы отсчета. Действительно, скорость движения выделяла бы некоторое направление в каждой точке и, следовательно, нарушала бы изотропию. Таким образом, система

отсчета (2.1.3) является сопутствующей. Выберем в качестве координаты времени собственное время каждой частицы. Тогда Наконец, все компоненты должны быть тождественно равны нулю. В противном случае они составляли бы трехмерный вектор, также нарушающий изотропию.

Итак, выражение для может быть записано в виде

В выражении (2.1.4) координаты х, у, z являются лагранжевыми координатами частиц материи, так как материя не движется относительно системы отсчета. Все движение материи описывается деформацией самой системы отсчета. Масштабный множитель в выражении (2.1.4) зависит только от времени, Его возрастание с течением времени описывает расширение системы отсчета, увеличение всех расстояний в системе отсчета, а значит, и расширение всего вещества, так как система отсчета является сопутствующей. Напомним, что физическое расстояние между любыми близкими частицами в нашей модели есть согласно (2.1.3), пропорционально поскольку постоянны. Из уравнений Эйнштейна нам остается найти единственную неизвестную функцию

Уравнения Эйнштейна записываются в следующем виде:

Здесь тензор Риччи, его след; оба они являются функциями от их первых и вторых производных, - символы Кронекера, тензор энергии-импульса материи. В космологии в качестве материи чаще всего рассматривается газ. Это может быть и «обычный» газ, и газ, «молекулами» которого являются галактики, и ультрарелятивистский газ фотонов и т. д. В этом случае компоненты тензора энергии-импульса записываются в виде

где четырехмерная скорость материи. В сопутствующей системе отсчета [как в нашем случае (2.1.4)] компоненты отличные от нуля, суть

В однородной изотропной Вселенной и могут зависеть только от времени, но не от пространственных координат. Нашей задачей является подставить компоненты из (2.1.4) в уравнения Эйнштейна (2.1.5), подставить туда же (2.1.7) и определить три неизвестные функции от времени: По существу, неизвестных функций только две: так как и связаны уравнением состояния вещества.

А. Эйнштейн, развив идею М. Планка (1905), показал, что законы фотоэффекта могут быть объяснены при помощи квантовой теории. Явление фотоэффекта экспериментально доказывает: свет имеет прерывистую структуру. Излученная порция E=hv сохраняет свою индивидуальность и поглощается веществом только целиком.

Эйнштейн предположил:

1. Один фотон может выбить только один электрон (это верно для всех процессов с небольшой интенсивностью излучения).

2. На основании закона сохранения энергии:

Уравнение Эйнштейна.

Его смысл: энергия кванта тратится на работу выхода электрона из металла и сообщение электрону кинетической энергии. В этом уравнении: ν - частота падающего света, m - масса электрона (фотоэлектрона), υ - скорость электрона, h - постоянная Планка, A - работа выхода электронов из металла. Работа выхода - это характеристика материала (табличная величина). Она показывает, какую работу должен совершить электрон, чтобы преодолеть поверхностную разность потенциалов и выйти за пределы металла. Работа выхода обычно измеряется в электронвольтах (эВ).

Фотон

Фотон - материальная, электрически нейтральная частица, квант электромагнитного поля (переносчик электромагнитного взаимодействия).Основные свойства фотона

Является частицей электромагнитного поля.

Движется со скоростью света.

Существует только в движении.

Остановить фотон нельзя: он либо движется со скоростью, равной скорости света, либо не существует; следовательно, масса покоя фотона равна нулю.

Энергия фотона : .

Согласно теории относительности энергия всегда может быть вычислена как , Отсюда - масса фотона .

Импульс фотона . Импульс фотона направлен по световому пучку.

Наличие импульса подтверждается экспериментально: существованием светового давления.

Давление света

В 1873 г. Дж. Максвелл, исходя из представлений об электромагнитной природе света, пришел к выводу: свет должен оказывать давление на препятствие (благодаря действию силы Лоренца; на рисунке v - направление скорости электронов под действием электрической составляющей электромагнитной волны).

Квантовая теория света объясняет световое давление как результат передачи фотонами своего импульса атомам или молекулам вещества. Пусть на поверхность абсолютно черного тела площадью S перпендикулярно к ней ежесекундно падает N фотонов: . Каждый фотон обладает импульсом . Полный импульс, получаемый поверхностью тела, равен. Световое давление:

При падении света на зеркальную поверхность удар фотона считают абсолютно упругим, поэтому изменение импульса и давление в 2 раза больше, чем при падении на черную поверхность (удар неупругий). Это давление оказалось ~4 . 10 -6 Па. Предсказание Дж. Максвеллом существования светового давления было экспериментально подтверждено П. Н.Лебедевым, который в 1900 г. измерил давление света на твердые тела, используя чувствительные крутильные весы. Теория и эксперимент совпали.

Опыты П. Н. Лебедева - экспериментальное доказательство факта: фотоны обладают импульсом

Встав на путь геометрического описания гравитационного поля, мы пришли к выводу, что для формулировки точных общековариантных уравнений теории, ранее известной в линейном приближении в пространстве Минковского, достаточно отыскать такие объекты тензорной природы, которые в локально лоренцевой системе переходили бы в соответствующие

Объекты линеаризованной теории. Теперь в нашем распоряжений есть все необходимое, чтобы сформулировать точные уравнения гравитационного поля, которые обобщили бы уравнения (4.3.4) линеаризованной теорий. Можно утверждать, что таковыми являются следующие уравнения:

Преждё всего обратимся к правой части (4.6.1). При сопоставлении с линеаризованной теорией следует иметь в виду, что в последней в выражении для источника тензорного поля гравитацией нужно было пренебречь. С учётом этого очевидно, что правая часть (4.6.1) с точностью до коэффициента переходит в правую часть уравнения (4.3.4). Далее непосредственным вычислением можно убедиться в том, что левая часть (4.6.1) при Подстановке в качестве метрики разложения (4.4.1) в линейном приближении переходит в левую часть (4.3.4) с точностью до коэффициента. Далее, принимая во внимание значение константы линеаризованной теории, следующее из (4.3.24), находим, что указанное соответствие уравнений (4.6.1) и (4.3.4) является точным. Точно также можно убедиться в том, что в локально лоренцевой системе отсчета (4.6.1) в точности переходит в (4.3.4). Наконец, тензорный характер смысле риманова пространства, событий) уравнения (4.6.1) говорит о том, что сделанное утверждение правильно.

Перепишем уравнения (4.6.1) в виде

(более удобном для дальнейшего анализа. Эти уравнения, называемые уравнениями Эйнштейна, как трудно видеть, свободны от противоречия, от которого страдали уравнения (4.3.4) линеаризованной теории - как правая так и левая часть теперь имеют равную нулю ковариантную дивергенцию: левая часть в силу тождества. Бианки (4.5.2), а правая - в силу ковариантного условия консервативности тензора энергии-импульса полной материальной системы в присутствии гравитационного поля:

Тем самым нам удалось избавиться от основного противоречия, неизбежно возникающего при попытке сформулировать теорию в пространстве Минковского, когда изменения правой части уравнений с целью удовлетворить условию консервативности с учетом гравитационного взаимодействия приводила к изменению левой части и т. д. По существу, уравнения Эйнштейна и представляют собой компактную запись получаемого таким образом итерационного ряда.

Построив уравнения в обвдековариантной форме, мы тем самым, сделали калибровочную инвариантность точным свойством теории.

Нетривиальной особенностью уравнений Эйнштейна является то, что они содержат внутри себя и уравнения материальной системы, порождающей самосогласованное гравитационное поле. Эти уравнения содержатся в ковариантном законе сохранения (4.6.3). Проиллюстрируем это на примере точечной частицы. Тензор энергии-импульса можно записать в виде

Вычисление ковариантной дивергенции этого выражения дает

Нетрудно видеть, что стоящее под знаком интеграла выражение тождественно абсолютной производной вектора 4-скорости, и потому условие консервативности приводит к воспроизведению уравнения геодезических.

Обсуднм теперь вопрос о выборе лагранжиана для уравнений Эйнштейна. Прежде всего заметим, что из сопоставления линеаризованного выражения для символов Кристоффеля (4.5.22) и лагранжиана линеаризованной теории (4.2.3) можно сделать вывод, что последний представим в форме

Оказывается, что варьирование этого лагранжиана как точного по метрике действительно приводит к уравнениям Эйнштейна. Недостатком этого лагранжиана является то, что символы Кристоффеля калибровочно-неииварнантные величин Неудивительно, что и в линеаризованной теории удалось добиться калибровочной инвариантности лишь относительно бесконечно малых преобразований. Можно, однако, добавить к «гамма-гамма» лагранжиану (4.6.6) полную дивергенцию

После преобразований находим

где скалярная кривизна. Этот лагранжиан калибровочно-инвариантев, и данный выбор может показаться удовлетворительным, однако скалярная кривизна содержит вторые производные от метрики и при варьировании следует учитывать более точно граничные условия. Если многообразие имеет

границу, причем нормальные вариации на границе не обращаются в нуль, то для получения уравнений Эйнштейна к этому лагранжиану нужно добавить еще поверхностный член вида

где К - след второй фундаментальной формы поверхности, определитель метрики, индуцируемой на поверхности.

Правая часть уравнений Эйнштейна естественным образом возникает при варьировании действия материальной системы по метрике. Такой тензор энергии-импульса, называемый метрическим, симметричен, ковариантно сохраняется

Левая часть уравнений Эйнштейна (4.6.2) представляет собой нелинейное выражение от компонент метрики и ее первых производных по координатам Пусть одна из компонент выбрана в качестве времени, и мы хотим проследить за эволюцией решения, заданного на начальной гиперповерхности. Оказывается, что не все десять уравнений (4.6.2) являются динамическими, т. е. содержат вторые производные от метрики по времени. Действительно, из тождеств Бианки (4.5.20) вытекает

Правая часть содержит производные от метрики по координатам не выше второго порядка, следовательно, компоненты» тензора не могут содержать производные по времени выше первого порядка. Таким образом, уравнения

являются не динамическими уравнениями относительно метрики, а связями. Связи возникают вследствие ковариантности уравнений Эйнштейна относительно группы диффеоморфизмов (4.4.6). Для устранения произвола в выборе координат метрический тензор можно подчинить четырем независимым условиям калибровки. Наиболее близким к калибровке (4.2.10) линеаризованной теории является выбор гармонических координат посредством наложения условий

или, что то же самое,

(преобразование обращающее нуль осуществляется функциями каждая из которых удовлетворяет «гармоническому» уравнению Условие гармоничности можно

представить в форме недостающих динамических уравнений. для компонент метрики

взамен уравнений связей (4.6.12), которые следует рассматривать как уравнения, определяющие согласованный набор начальных значений метрики и ее первых производных.

Итак, решение уравнений Эйнштейна определяет метрику лишь с точностью до произвольного выбора четырех калибровочных функций, что физически отвечает свободе выбора координатных систем. Более того, тензор кривизны, описывающий «истинное» гравитационное поле, также не определяется полностью источником в правой части уравнений Эйнштейна. Действительно, из (4.6.2) однозначно определяется тензор Риччи (4.5.16), который в свою очередь определяет тензор кривизны (4.5.18) с точностью до задания тензора Вейля Фактически, однако, дивергенция тензора Вейля связана с тензором Риччи в силу тождеств Бианки (4.5.15), записанных с учетом разложения (4.5.18):

С точностью до этого соотношения, тензор Вейля определяет свободное гравитационное поле.

Подобная ситуация имеет место и в электродинамике, где к решению неоднородных уравнений Максвелла с источником может быть добавлено решение однородного уравнения, описывающего свободные электромагнитные волны. Однако есть и отличие, связанное с тем, что уравнения Эйнштейна нелинейны. В силу этого гравитационные поля не удовлетворяют принципу линейной суперпозиции и отделение «свободного» гравитационного поля от ноля, создаваемого некоторым материальным, источником, вообще говоря, невозможно. Интерпретация того, или инод) решения уравнений Эйнштейна представляет непростую задачу, поскольку практически при построении решения приходится фйксировать калибровку, после чего метрика находится однозначно, а вместе с ней кривизна и тензор Вейля.

Еще одно важное отличие от электродинамики состоит в том, что источник в правой части уравнений Эйнштейна не может быть задан произвольно. Тождества Бианки (4.5.20) требуют выполнения условия консервативности тензора энергии - импульса (4.6.3), которое с физической точки зрения означает выполнение уравнений движения для материальной системы - источника гравитационного роля - в создаваемом ею поле. Соответствующее условие сохранения тока в электродинамике является значительно менее жестким. В теорий гравитации мы. с необходимостью сталкиваемся рассмотрением самосогласованной системы уравнений для материи и создаваемого ею

гравитационного поля. Это по существу и является физической причиной невозможности последовательного построения линейной теории тензорного поля в пространстве Минковского с учетом взаимодействия с материей.

В заключение коснемся вопроса об энергии-импульсе самого гравитационного поля. Уже в рамках линеаризованной теории мы столкнулись с тем, что канонический тензор энергии-импульса зависит от калибровки. В общей теории относительности эта трудность находит свое отражение в том, что в теории отсутствует объект, который можно было бы интерпретировать как плотность энергии и импульса гравитационного поля и имеющий статус тензора в многообразии. Известны способы введения так называемых псевдотензоров, ковариантных относительно ограниченных преобразований координат. В частности, канонический тензор энергии-импульса линеаризованной теории оказывается низшим членом разложения псевдотензора Эйнштейна, а симметризованный тензор линеаризованной теории соответствует псевдотензору Ландау - Лифшица. В существующей литературе эти проблемы обсуждаются достаточно широко, и нет смысла повторять здесь это обсуждение.

Трудности классического объяснения фотоэффекта

Как можно было бы объяснить фотоэффект с точки зрения классической электродинамики и волновых представлений о свете?

Известно, что для вырывания электрона из вещества требуется сообщить ему некоторую энергию A , называемую работой выхода электрона. В случае свободного электрона в металле это работа по преодолению поля положительных ионов кристаллической решетки, удерживающего электрон на границе металла. В случае электрона, находящегося в атоме, работа выхода есть работа по разрыву связи электрона с ядром.

В переменном электрическом поле световой волны электрон начинает совершать колебания.

А если энергия колебаний превысит работу выхода, то электрон будет вырван из вещества.

Однако в рамках таких представлений невозможно понять второй и третий законы фотоэффекта. Почему кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности излучения? Ведь чем больше интенсивность, тем больше напряженность электрического поля в электромагнитной волне, тем больше сила, действующая на электрон, тем больше энергия его колебаний и с тем большей кинетической энергией электрон вылетит из катода. Но эксперимент показывает иное.

Откуда берется красная граница фотоэффекта? чем «провинились» низкие частоты? Казалось бы, с ростом интенсивности света растет и сила, действующая на электроны; поэтому даже при низкой частоте света электрон рано или поздно будет вырван из вещества когда интенсивность достигнет достаточно большого значения. Однако красная граница ставит жесткий запрет на вылет электронов при низких частотах падающего излучения.

Кроме того, при освещении катода излучением сколь угодно слабой интенсивности (с частотой выше красной границы) фотоэффект начинается мгновенно в момент включения освещения. Между тем, электронам требуется некоторое время для «расшатывания» связей, удерживающих их в веществе, и это время «раскачки» должно быть тем больше, чем слабее падающий свет. Аналогия такая: чем слабее вы толкаете качели, тем дольше придется их раскачивать до заданной амплитуды. Выглядит опять-таки логично, но опыт единственный критерий истины в физике! этим доводам противоречит.

Так на рубеже XIX и XX столетий в физике возникла тупиковая ситуация: электродинамика, предсказавшая существование электромагнитных волн и великолепно работающая в диапазоне радиоволн, отказалась объяснять явление фотоэффекта.

Выход из этого тупика был найден Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Он нашел простое уравнение, описывающее фотоэффект. Все три закона фотоэффекта оказались следствиями уравнения Эйнштейна.

Главная заслуга Эйнштейна состояла в отказе от попыток истолковать фотоэффект с позиций классической электродинамики. Эйнштейн привлек к делу смелую гипотезу о квантах, высказанную Максом Планком пятью годами ранее.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка говорила о дискретности излучения и поглощения электромагнитных волн, то есть о прерывистом характере взаимодействия света с веществом. При этом Планк считал, что распространение света это непрерывный процесс, происходящий в полном соответствии с законами классической электродинамики.

Эйнштейн пошел еще дальше: он предположил, что свет в принципе обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями квантами, обладающими энергией E = h ν .

Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический трюк и не решился опровергнуть электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из особых частиц фотонов, движущихся в вакууме со скоростью c . Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту, несет энергию h ν .

Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества; в таком случае мы говорим о столкновении фотона и частицы. В частности, происходит столкновение фотонов с электронами металла катода.

Поглощение света это поглощение фотонов, то есть неупругое столкновение фотонов с частицами (атомами, электронами). Поглощаясь при столкновении с электроном, фотон передает ему свою энергию. В результате электрон получает кинетическую энергию мгновенно, а не постепенно, и именно этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта есть не что иное, как закон сохранения энергии. На что идет энергия фотона h ν при его неупругом столкновении с электроном? Она расходуется на совершение работы выхода A по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии mv 2 /2: h ν = A + mv 2 /2 (4)

Слагаемое mv 2 /2 оказывается максимальной кинетической энергией фотоэлектронов. Почему максимальной? Этот вопрос требует небольшого пояснения.

Электроны в металле могут быть свободными и связанными. Свободные электроны «гуляют» по всему металлу, связанные электроны «сидят» внутри своих атомов. Кроме того, электрон может находиться как вблизи поверхности металла, так и в его глубине.

Ясно, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона получится в том случае, когда фотон попадет на свободный электрон в поверхностном слое металла тогда для выбивания электрона достаточно одной лишь работы выхода.

Во всех других случаях придется затрачивать дополнительную энергию на вырывание связанного электрона из атома или на «протаскивание» глубинного электрона к поверхности. Эти лишние затраты приведут к тому, что кинетическая энергия вылетевшего электрона окажется меньше.

Замечательное по простоте и физической ясности уравнение (4) содержит в себе всю теорию фотоэффекта:

1. число выбиваемых электронов пропорционально числу поглощенных фотонов. С увеличением интенсивности света количество фотонов, падающих на катод за секунду, возрастает. Стало быть, пропорционально возрастает число поглощенных фотонов и, соответственно, число выбитых за секунду электронов.

2. Выразим из формулы (4) кинетическую энергию: mv 2 /2 = h ν - A

Действительно, кинетическая энергия выбитых электронов линейно растет с частотой и не зависит от интенсивности света.

Зависимость кинетической энергии от частоты имеет вид уравнения прямой, проходящей через точку (A / h ; 0). Этим полностью объясняется ход графика на рис. 3.

3. Для того, чтобы начался фотоэффект, энергии фотона должно хватить как минимум на совершение работы выхода: h ν > A . Наименьшая частота ν 0 , определяемая равенством

h ν о = A ;

Как раз и будет красной границей фотоэффекта. Как видим, красная граница фотоэффекта ν 0 = A / h определяется только работой выхода, т. е. зависит лишь от вещества облучаемой поверхности катода.

Если ν < ν 0 , то фотоэффекта не будет сколько бы фотонов за секунду не падало на катод. Следовательно, интенсивность света роли не играет; главное хватает ли отдельному фотону энергии, чтобы выбить электрон.

Уравнение Эйнштейна (4) дает возможность экспериментального нахождения постоянной Планка. Для этого надо предварительно определить частоту излучения и работу выхода материала катода, а также измерить кинетическую энергию фотоэлектронов.

В ходе таких опытов было получено значение h , в точности совпадающее с (2). Такое совпадение результатов двух независимых экспериментов на основе спектров теплового излучения и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта означало, что обнаружены совершенно новые «правила игры», по которым происходит взаимодействие света и вещества. В этой области классическая физика в лице механики Ньютона и электродинамики Максвелла уступает место квантовой физике теории микромира, построение которой продолжается и сегодня.

Главная » Собственность » Объяснение законов фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна