Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ) ТюмГУ

Тема: «История систем счисления»

Выполнила:

студентка 1 курса БД-154-О

Кутова А. А.

Проверила:

Волкова Т.Г

Сургут 2015

1. История систем счисления

2. Десятичная система счисления

Литература

1. История систем счисления

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи . Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной .

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

2. Десятичная система счисления

Десятичная сис тема счисления - это всем нам привычная и хорошо известная позиционная система счисления, но мы начнем изучение именно с нее и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные нам системы счисления.

Итак, основанием системы является число десять (10), это значит что для изображения чисел используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Давайте просто посчитаем в этой системе, будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:

Ноль - 0 ;

Один - 1 ;

Восемь - 8 ;

Девять - 9 ;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число десять? Чтобы выкрутится из ситуации, введем новое понятие - "десяток" и скажем, что десять - это один десяток и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10".

Итак, Десять - 10 (один десяток, ноль единиц)

Одиннадцать - 11 (один десяток, одна единица)

Двадцать - 20 (два десятка, ноль единиц)

Девяносто девять - 99 (девять десятков, девять единиц)

Сто - 100 (одна сотня, ноль десятков, ноль единиц)

И так всегда, когда нам перестает хватать цифр для отображения следующего числа, мы укрупняем единицы счета (т.е. считаем десятками, сотнями и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.

Рассмотрим число 4329 записанное в десятичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: четыре тысячи, три сотни, два десятка и девять единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 1000, 100, 10, 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0

Аналогично для дробного числа (десятичной дроби) например: 0.235 (ноль целых двести тридцать пять тысячных), про него можно сказать, что оно содержит: две десятых доли, три сотых доли и пять тысячных долей. И его значение можно вычислить следующим образом:

0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001

И здесь ряд чисел 0.1 0.01 0.001 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 и мы также можем записать:

0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3

Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:

752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3

Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного десятичного числа может быть вычислено по формуле:

N = d n 10 n +d n-1 10 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1) 10 -(m-1) +d -m 10 -m

Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;

m - количество разрядов в дробной части числа

d i - цифра стоящая в i -м разряде

Эта формула называется формулой поразрядного разложения десятичного числа, т.е. числа записанного в десятичной системе счисления. Но если в этой формуле число десять заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m

С помощью последней формулы мы всегда можем получить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления.

Вывод

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Литература

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

контрольная работа , добавлен 04.11.2013


Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

курсовая работа , добавлен 29.04.2017


Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления.

презентация , добавлен 15.04.2015


Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.

презентация , добавлен 10.11.2010


Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.

реферат , добавлен 09.07.2009


Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.

реферат , добавлен 13.04.2008


Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления.

реферат , добавлен 25.12.2014


Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы.

презентация , добавлен 20.06.2011


История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов.

курсовая работа , добавлен 21.06.2010


Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций.

История развития систем счисления.

Современный человек в повседневной жизни окружен огромным количеством самой разнообразной информации, не малая доля которой приходится на числовую информацию. Действительно, мы запоминаем номера телефонов, подсчитываем стоимость покупок, ведем счет школьным урокам и их продолжительности и т.д.. Историки доказали, что и в глубокой древности люди могли записывать числа, производили над ними различные арифметические действия, но записывались числа совершенно по другим принципам, чем мы это делаем сегодня.

Что же такое число? Первоначально понятие числа было «привязано» к предметам, которые пересчитывали. С развитием письменности появляется отвлеченное понятие натурального числа. Необходимость производить измерения, т.е. сравнение с другой величиной того же рода, выбранной в качестве эталона, привело к появлению дробных чисел. Дальнейшее развитие понятия числа было связано непосредственно с развитием математики. Сегодня число это фундаментальное понятие математики и информатики, под которым понимают его величину, а не символьную запись. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называют цифрами.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением.

Системой счисления называют способы записи чисел и правила действий над числами.

Первые упоминания о системах счисления можно отнести к 10 – 11 тысячелетию до н.э.. При раскопках культурных слоев относящихся к этому периоду, археологи обнаружили записи в виде последовательности черточек – палочек. Ученые считают, что таким образом записывались числа и количество палочек, записанных в строку, равно значению числа. Такая система счисления была названа единичной (палочной) . Дальнейшее развитие счета привело к усовершенствованию и развитию систем счисления. За свою историю человечество использовало различные системы счисления и многие свидетельства этому дошли до наших дней. Например, тот факт, что в часу 60 минут и в минуте 60 секунд свидетельствует о том, что когда-то, люди использовали шестидесятеричную систему счисления. Действительно, археологи обнаружили, при раскопках на месте древней Вавилонской цивилизации следы использования такой системы счисления. Двенадцать месяцев в году и двенадцать делений на циферблате часов, свидетельствуют о том, что вероятнее всего, когда-то использовалась и двенадцатеричная система счисления.

В древней Руси была принята так называемая алфавитная система счисления, в которой цифры обозначались буквами кириллицы со специальным знаком, который назывался титло и служил для того, чтобы цифры отличать от букв.

Современная десятичная система счисления возникла в Индии приблизительно в V в. н.э., возникновение этой системы стало возможным после того, как для обозначения отсутствующей величины стали использовать цифру «0».

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Системы счисления, в которых числа записывают как последовательность цифр, можно разбить на два класса: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значения цифр не изменяются при изменении их положения в последовательности. В качестве примера непозиционной системы приведем известную всем римскую систему счисления. В римской системе счисления символ Х на любом месте равен 10, но в записи слева от старшего (например, ХС) символ х равен –10, а в сочетании перед младшим (например, XV ) равен +10. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил. В этих системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа, поэтому непозиционные системы имеют ограниченное применение. В основном их используют для наименования дат, томов, глав и т.д.

Напротив, в позиционных системах счисления количественное значение цифры в числе зависит от ее позиции.

Дадим определения основным, наиболее важным, понятиям позиционных систем счисления, к которым относятся основание, алфавит и базис систем счисления

Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении на соседнюю позицию, и какое число различных знаков (цифр) входит в так называемый алфавит системы счисления.

Алфавитом системы счисления называется набор символов (цифр), используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Так алфавиты рассматриваемых в дальнейшем систем счисления следующие:

Двоичная: 0,1.

Восьмеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D ,E ,F .

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по позиции. Другими словами можно сказать, что базис системы счисления составляют числа, являющиеся последовательными степенями основания системы счисления.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число ≥ 2. Одним из примеров позиционной системы счисления является десятичная система, широко используемая в жизни. В качестве десятичных цифр применяются арабские цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – являющиеся алфавитом десятичной системы счисления. Основание системы счисления равно 10, это говорит о том, что значения цифр стоящих в соседних позициях отличаются в десять раз, а также то, что в алфавите 10 знаков цифр. Базис десятичной системы счисления составляют числа: 1, 10, 100, 1000, 10000 … 10 n , это означает, что цифра стоящая в нулевой позиции несет вклад – единицы, цифра стоящая в первой позиции несет вклад – десятки, цифра стоящая во второй позиции несет вклад – сотни и т.д..

В качестве примера рассмотрим число 5555, записанное в привычной для Вас, системе счисления с основанием равным 10.

5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5

Как видно из примера 5 стоящая в 0-й позиции несет вклад равный 5 единицам, 5 стоящая на 1-й позиции несет вклад равный 5 десяткам, 5 стоящая на 2-й позиции несет вклад равный 5 сотням, 5 стоящая на 3-й позиции несет вклад равный 5 тысячам.

В любой позиционной системе счисления с основанием больше 1 число записывается в виде последовательностей цифр, разделенных запятой на две последовательности

Позиции , расположенные левее запятой пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, а справа от запятой пронумерованы подряд слева направо -1, -2, -3 и т. д. Пронумерованные позиции называются разрядами .

Последовательность цифр расположенных слева от запятой называется целой частью числа, а справа от запятой называется дробной частью.

В современных ЭВМ в настоящее время в основном используется позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16 и 10, хотя были попытки, правда не совсем успешные, использования и других систем счисления (например, троичной).

Следует отметить важную особенность основания системы счисления – в любой позиционной системе счисления основание записывается как 10, но оно имеет различное количественное значение. Например, в двоичной системе счисления 10 это два, в троичной 10 это три, а в десятичной 10 это десять.

Введение

На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Мне стало очень интересно, и я решила изучить эту тему.

Данная тема мне интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

Я поставила перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить системы счисления, используемые в вычислительной технике, позиционные и непозиционные системы счисления и арифметические действия в различных системах. В данной работе будут рассмотрены разные системы счисления.

История создания систем счисления

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй - десятки, третий - сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.

Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы использования при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».

Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12. Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления./1/

Лекция 1. Системы счисления

1. История возникновения систем счисления.

2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Десятичная система счисления, запись чисел в ней.

4. Разряды

Человеку постоянно приходится иметь дело с числами, поэтому нужно уметь правильно называть и записывать любое число, производить действия над числами. Как правило, все с этим успешно справляются. Помогает здесь способ записи чисел, который в настоящее время используется повсеместно и носит название десятичной системы счисления.

Изучение этой системы начинается в начальных классах, и, конечно, учителю нужны определенные знания в этой области. Он должен знать различные способы записи чисел, алгоритмы арифметических действий и их обоснование. Материал данной лекции дает тот минимум, без которого невозможно разобраться с различными методическими подходами к обучению младших школьников способам записи чисел и выполнению над ними действий.

История возникновения систем счисления.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же появилась необходимость в названии и записи чисел. Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления .

Простейшая система записи натуральных чисел требует лишь одной цифры, например «палочки» (или зарубки на дереве, как у первобытного человека, или узелка на веревке, как у индейцев Америки), которая изображает единицу. Повторяя этот знак, можно записать любое число: каждое число n записывается просто n «палочками». В такой системе счисления удобно выполнять арифметические действия. Но подобный способ записи очень не экономичен и для больших чисел неизбежно приводит к ошибкам в счете.

Поэтому со временем возникли иные, более экономичные и удобные способы записи чисел. Рассмотрим некоторые из них.

В Древней Греции была распространена так называемая аттическая нумерация . Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками:

Число 5 записывалось знаком Г (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» - пять). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались так:

Число 10 обозначалось Δ (начальной буквой слова «дека» - десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Н, Х, М – начальными буквами соответствующих слов.

Другие числа записывались различными комбинациями этих знаков.

В третьем веке до нашей эры аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой . В ней числа 1 – 9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита: α (альфа), β (бэта), γ (гамма), δ (дельта), ε (эпсилон), ς (фау), ζ (дзета),
η (эта), (тэта).

Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – следующими девятью буквами: i (йота),
κ (каппа), λ (ламбда), μ (мю), ν (ню), ξ (кси), ο (омикрон), π (пи), с (копа).

Числа 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последними девятью буквами греческого алфавита.

Алфавитную нумерацию, подобную древнегреческой, имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. У какого народа она возникла впервые неизвестно.

В Древнем Риме в качестве «ключевых» использовались числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. Они обозначались соответственно буквами I, V, X, L, C, D и М.

Все целые числа (до 5000) записывались с помощью повторения выше приведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей: VI = 6, т.е. 5 + 1; IV = 4, т.е. 5 – 1;
XL = 40, т.е. 50 – 10; LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70, LXXX = 80, число 90 записывается XC (а не LXXXX).

Например: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Однако римская нумерация сохранилась до настоящего времени. Ее используют для обозначения юбилейных дат, наименования конференций, глав в книгах и т.д.

На Руси в старину цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ними ставился специальный знак, называемый «титло». Первые девять цифр записывались так:

Десятки обозначались так:

Сотни обозначались так:

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева ставился знак «≠»: ≠ А = 1000, ≠ В = 2000, ≠ Е = 5000.

Десятки тысяч назывались «тьма », их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу.

Сотни тысяч назывались «легионами », их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Миллионы назывались «леодрами ». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых:

1 000 000, = 2 000 000.

Десятки миллионов назывались «воронами » или «вранами» и их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны букву К:

Сотни миллионов назывались «колодами ». «Колода» имела специальное обозначение – над буквой и под буквой ставились квадратные скобки:

Иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались и для записи чисел. Один вертикальный клинышек обозначал единицу, горизонтальный – десяток. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц.

О том, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система, существует много гипотез, но ни одна пока не доказана. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной системой, а другое – десятичной. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывают с числом 60.

Шестидесятеричная система, в некоторой степени, сохранилась до наших дней, например, в делении часа на 60 минут, а минуты - на 60 секунд и в аналогичной системе измерение углов: 1 градус равен 60 минутам, 1 минута – 60 секундам.

Двоичной системой счисления пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины.

Двоичной системой счисления пользуются некоторые (местные) культуры в Африке, Австралии и Южной Америке.

Для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется лишь две цифры: 0 и 1. По этой причине двоичную запись числа легко представить, пользуясь физическими элементами, которые имеют два различных устойчивых состояния. Именно это и послужило одной из важных причин широкого использования двоичной системы в современных электронных вычислительных машинах.

Самой экономичной из всех систем счисления является троичная . Двоичная и равносильная ей, в смысле экономичности, четверичная системы, несколько уступают в этом отношении троичной, но превосходят все основные возможные системы. Если для записи чисел от 1 до 10 в десятичной системе требуется 90 различных состояний, а в двоичной – 60, то в троичной системе достаточно 57 состояний.

Наиболее привычная ситуация, в которой проявляется необходимость троичного анализа, - это, пожалуй, взвешивание на чашечных весах. Здесь могут возникнуть три разных случая: либо одна из чашек перевесит другую, либо наоборот, либо же чашки уравновесят друг друга.

Четверичной системой счисления пользуются, главным образом, индейские племена Южной Америки и индейцы юкки в Калифорнии, считающих на промежутках между пальцами.

Пятеричная система счисления была распространена гораздо шире, чем все остальные. Индейцы племени таманакос в Южной Америке употребляют для обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово «шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь – «два пальца на другой руке» и т.д. для восьми и девяти. Десять называется «двумя руками». Желая назвать число от 11 до 14, таманакос протягивают вперед обе руки и считают: «один на ноге, два на ноге» и т.д. до тех пор, пока не доходят до 15 – «всей ноги». Затем следует «один на другой ноге» (число 16) и т.д. до 19. Число 20 по-таманакски означает «один индеец», 21 – «один на руке другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» - 60.

У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла 5 дней.

Некоторые историки считают, что римское число X (десять) составлено из двух римских пятерок V (одна из них перевернута), а число V в свою очередь возникло из стилизованного изображения человеческой руки.

Широкое распространение имела в древности двенадцатеричная система счисления . Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. А именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимают за единицу следующего разряда.

Основное преимущество двенадцатеричной системы состоит в том, что ее основание делится без остатка на 2, 3 и 4. Сторонники двенадцатеричной системы появились еще в XVI веке. В более позднее время к их числу принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт Спенсер, Джон Квинси Адамс и Джордж Бернард Шоу. Существует даже американское двенадцатеричное общество, выпускающее два периодических издания: «Двенадцатеричный бюллетень» и «Руководство по двенадцатеричной системе». Всей «двенадцатеричников» общество снабжает специальной счетной линейкой, в которой в качестве основания используется 12.

В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать «двенадцать», часть говорят «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а именно дюжинами, например, столовые приборы в сервизе (сервиз на 12 персон) или стулья в мебельном гарнитуре.

Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе счисления – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала XX столетия оно бытовало и, еще сто лет назад, его можно было легко встретить. Например, в написанном в 1928 году стихотворении «Плюшкин» В.В. Маяковский, высмеивая мещан, скупающих подряд все нужное и ненужное, писал:

Оглядев

товаров россыпь,

Главная » Преступления » Использование различных систем счисления в современном мире. · показать взаимосвязь истории математики, истории развития общества в рассмотрении понятии числа