Объяснить содержание теоремы штейнера. Теорема штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции

В приведенных примерах оси проходят через центр инерции тела. Мо­мент инерции относительно других осей вращения определяется при по­мощи теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины произведения массы тела на квадрат расстояния между ними. где m масса тела, а - расстояние от центра инерции тела до выбранной оси вращения, т.е.

, где m - масса тела, а - расстояние от центра

инерции тела до выбранной оси вращения.

Покажем на одном примере применение теоремы Штейнера. Вычислим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно стержню. Прямое вычисление сводится к тому же ин­тегралу (*),но взятому в других пределах:

Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно а = ℓ/2. По теореме Штейнера получаем тот же результат.

.

§22.Основной закон динамики вращательного движения.

Формулировка закона: Скорость изменения момента импульса относительно полюса равна главному моменту силы относительно того же полюса, т.е.

.

В проекциях на оси координат:
.

Если вращение тела происходит относительно неподвижной оси, то основной закон динамики вращательного движения примет вид: . В данном случае момент импульса легко выразить через угловую скорость и момент инерции тела относительно рассматриваемой оси:
. Тогда основной закон динамики вращательного движения примет вид:
. Если тело не рассыпается и не деформируется, то

, вследствие чего
. Если ко всему
, то
и, оно равно:
.

Элементарная работа, совершаемая моментом силы, при вращательном движении относительно неподвижной оси вычисляется по формуле:
(*). Полная работа
. Если
, то
.

На основании формулы (*), получим выражение для кинетической энергии вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси. Т.к.
, то. После интегрирования, получим окончательный результат для кинетической энергии вращательного движения относительно неподвижной оси
.

§23.Закон сохранения момента импульса.

Как уже указывалось, законы сохранения энергии и импульса связаны с однородностью времени и пространства, соответственно. Но у трехмер­ного пространства, в отличие от одномерного времени, имеется еще одна симметрия. Пространство само по себе изотропно, в нем нет выделен­ных направлений. С этой симметрией связанзакон сохранения момента импульса. Эта связь проявляется в том, что момент количества движе­ния, является одной из основных величин, описывающих вращательное движение.

По определению момент импульса отдельной частицы равен .

Направление вектора L определяется по правилу буравчика (штопора), а его величина равна L = r  p  sin  , где

  угол между направлениями радиус-вектора частицы и ее импульса. Величина ℓ = r  sin  равна рас­стоянию от начала координатО до прямой, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта величина называетсяплечом импульса. ВекторL зависит от выбора начала координат, поэтому говоря о нем, обычно указывают: "момент импульса относительно точкиО ".

Рассмотрим производную по времени от момента импульса:

.

Первое слагаемое равно нулю, т.к. . Во втором слагаемом, согласно второму закону Ньютона, производную по импульсу можно заменить на действующую на тело силу. Векторное произведение радиус-вектора на силу называетсямоментом силы относительно точкиО: .

Направление момента силы определяется тем же правилом буравчика. Его величина М = r  F  sin  , где

 угол между радиус-вектором и силой. Аналогично тому, как это было сделано выше, определяется и плечо силы

ℓ = r  sin  - расстояние от точкиО до линии действия силы. В итоге получаем уравнение движения для момента импульса частицы:.

По форме уравнение аналогично второму закону Ньютона: вместо им­пульса частицы стоит момент импульса, а вместо силы -момент силы. Если
,то
, т.е. момент импульса постоянен в отсутствие внешних моментов сил.

Формулировка закона: Момент импульса замкнутой системы относительно полюса не изменяется с течением времени.

В частном случае вращения относительно неподвижной оси, имеем:
, где

начальные момент инерции и угловая скорость тела относительно рассматриваемой оси, а

конечные момент инерции и угловая скорость тела относительно рассматриваемой оси.

Закон сохранения полной механической энергии с учётом вращательного движения: полная механическая энергия консервативной системы постоянна: .

Пример: Найти скорость системы при прохождении расстояния h.

Дано: m, M, h. Найти: V - ?

Момент инерции определяется как , если распределение массы равномерно, то заменяется на – элементарный объём, – плотность вещества. .

Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тала на квадрат расстояния а между осями: .

Момент инерции:

1) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню:

2) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через один из концов стержня:

3) тонкого кольца массы , радиуса R относительно оси симметрии, перпендикулярной плоскости кольца:

4) однородного диска (цилиндра) массы , радиуса R, высоты h относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию: .

21. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

При вращении тела с угловой скоростью все его элементарные массы движутся со скоростью они обладают кинетической энергией , – для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. При вращении на материальные точки массы , образующие твёрдое тело, действуют как внешние, так и внутренние силы. За промежуток времени испытывает перемещение ,при этом силы совершают работу . Работа всех сил будет равна . При сложении с учётом 3-его закона Ньютона сумма работ внутренних сил = 0. Следовательно, . В соответствии с теоремой о кинетической энергии, приращение кинетической энергии = работе всех сил, действующих на тело .

Вычислим кинетическую энергию твёрдого тела, совершающего произвольное плоское движение. все точки движутся в параллельных плоскостях. Вращение совершается вокруг оси, перпендикулярно плоскостям, и движется вместе с некоторой точкой О. Скорость материальной точки массы представим в виде . Тело перемещается поступательно, следовательно, , – выражение кинетической энергии тела, совершающего произвольное плоское движение. Если в качестве точки О выбрать центр масс, тогда и .

Гироскопы.

Гироскоп (или волчок) – массивное твёрдое тело, симметричное некоторой оси, совершающее вращения вокруг неё с большой угловой скоростью. В силу симметрии гироскопа выполняется . При попытке повернуть вращающийся гироскоп вокруг некоторой оси наблюдается гироскопический эффект – под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой О’O’, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О’’О’’ (ось ОО и прямая О’O’ предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О’’О’’ и силы f1 и f2 – перпендикулярными к этой плоскости). Объяснение эффекта основано на использование уравнения момента . Момент импульса поворачивается вокруг оси ОХ в силу соотношения . Вместе с вокруг ОХ поворачивается и гироскоп. Вследствие гироскопического эффекта на подшипнике, на котором вращается гироскоп, начинают действовать гироскопические силы . Под действием гироскопических сил ось гироскопа стремиться занять положение, параллельное угловой скорости вращения Земли.

Описанное поведение гироскопа положено в основу гироскопического компаса . Преимущества гироскопа: указывает точное направление на географический северный полюс, его работа не подвержена воздействию металлических предметов.

Прецессия гироскопа – особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Рассмотрим движение гироскопа с одной закреплённой точкой на оси под действием силы тяжести , – расстояние от закреплённой точки до центра инерции гироскопа, – угол между гироскопом и вертикалью. направлен момент перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа. Уравнение движения: приращение импульса = Следовательно, изменяет своё положение в пространстве таким образом, что его конец описывает окружность в горизонтальной плоскости. За промежуток времени гироскоп повернулся на угол ось гироскопа описывает конус вокруг вертикальной оси с угловой скоростью – угловая скорость прецессии.

Предположим, что мы умеем вычислять моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс. Теперь возникает задача вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси. Она решается с помощью теоремы Штейнера.

Эта теорема утверждает, что момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.

Для доказательства теоремы рассмотрим некую ось С , проходящую через центр масс и параллельную ей ось О , отстоящую от оси С на расстоянии а. Ось О может находиться и вне тела. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 2.12).

Рис. 2.12. К доказательству теоремы Штейнера

Из рис. 2.12 видно, что положение элемента массы относительно этих осей определяется векторами и , связь между которыми имеет вид:

Квадрат расстояния равен скалярному произведению

Тогда момент инерции тела относительно оси О можно представить в следующем виде:

Последнее слагаемое в этом выражении есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Обозначим его через Сумма . Напомним, что оси О и С параллельны и следовательно, вектор перпендикулярен оси С. Поэтому скалярное произведение Таким образом, мы получаем:

(2.10.1)

Уравнение движения твердого тела.

Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы и, следовательно, его движение описывается с помощью шести дифференциальных уравнений второго порядка. Три из них описывают движение центра масс твердого тела:

, , , (2.11.1)

где — координаты центра масс тела, — проекции внешних сил на оси координат, m — масса тела. Три других являются уравнениями моментов относительно осей ОХ , ОУ и ОZ в декартовой системе координат:

, , , (2.11.2)

где L x , L y , L z — моменты импульса системы относительно осей ОХ , ОУ , ОZ , а M x , M y , M z — моменты внешних сил относительно этих же осей.

Если перемещать точку приложения силы вдоль линии ее действия, то моменты сил и результирующие силы не будут меняться, если мы имеем дело с абсолютно твердым телом. В этом случае не будут меняться и уравнения движения (2.11.1), (2.11.2).

Если найдены решения уравнений (2.11.1), (2.11.2), при известных начальных условиях, то определены и шесть координат, характеризующих движение твердого тела. Эти координаты являются функциями времени. Однако системы уравнений (2.11.1) и (2.11.2) не всегда позволяют получить решение в аналитической форме. В этом случае говорят, что уравнение движения не удается проинтегрировать, и решение уравнений находят путем численного интегрирования.

При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:

Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними - I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:

Здесь r - это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r 2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.

Момент инерции и теорема Штейнера

Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:

I Z и I O - моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l - расстояние между прямыми Z и O.

Теорема позволяет, зная величину I O , рассчитать любой другой момент I Z относительно оси, которая параллельна O.

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции I O которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x 2 + y 2), тогда получаем интеграл:

I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)

Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm

Первое из этих слагаемых является величиной I O , третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l 2 *m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Проверка формулы Штейнера на примере стержня

Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.

Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции I O (ось проходит через центр масс) равен m*L 2 /12, а момент I Z (ось проходит через конец стержня) равен m*L 2 /3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент I Z:

I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3

То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для I Z , что и в источнике.

Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.

Момент инерции и перпендикулярные оси

Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:

Здесь z, x, y - три взаимно перпендикулярные оси вращения.

Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.

Предположим, что мы умеем вычислять моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс. Теперь возникает задача вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси. Она решается с помощью теоремы Штейнера.

Эта теорема утверждает, чтомомент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.

Для доказательства теоремы рассмотрим некую ось С , проходящую через центр масс и параллельную ей ось О , отстоящую от оси С на расстоянии а. Ось О может находиться и вне тела. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 2.12).

Рис. 2.12. К доказательству теоремы Штейнера

Из рис. 2.12 видно, что положение элемента массы относительно этих осей определяется векторами и , связь между которыми имеет вид:

Квадрат расстояния равен скалярному произведению

Тогда момент инерции тела относительно оси О можно представить в следующем виде:

Последнее слагаемое в этом выражении есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Обозначим его через Сумма . Напомним, что оси О и С параллельны и следовательно, вектор перпендикулярен оси С. Поэтому скалярное произведение Таким образом, мы получаем:

(2.10.1)

\ 2.11. Уравнение движения твердого тела.

Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы и, следовательно, его движение описывается с помощью шести дифференциальных уравнений второго порядка. Три из них описывают движение центра масс твердого тела:

, , , (2.11.1)

где - координаты центра масс тела, - проекции внешних сил на оси координат, m - масса тела. Три других являются уравнениями моментов относительно осей ОХ , ОУ и ОZ в декартовой системе координат:

, , , (2.11.2)

где L x , L y , L z - моменты импульса системы относительно осей ОХ , ОУ , ОZ , а M x , M y , M z - моменты внешних сил относительно этих же осей.

Если перемещать точку приложения силы вдоль линии ее действия, то моменты сил и результирующие силы не будут меняться, если мы имеем дело с абсолютно твердым телом. В этом случае не будут меняться и уравнения движения (2.11.1), (2.11.2).

Если найдены решения уравнений (2.11.1), (2.11.2), при известных начальных условиях, то определены и шесть координат, характеризующих движение твердого тела. Эти координаты являются функциями времени. Однако системы уравнений (2.11.1) и (2.11.2) не всегда позволяют получить решение в аналитической форме. В этом случае говорят, что уравнение движения не удается проинтегрировать, и решение уравнений находят путем численного интегрирования.

Главная » Конституционное право » Объяснить содержание теоремы штейнера. Теорема штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции