Реактивное движение. Школьная энциклопедия

Космонавтика регулярно достигает ошеломительных успехов. Искусственным спутникам Земли постоянно находятся все более разнообразные применения. Пребывание космонавта на околоземной орбите стало обычным явлением. Это было бы невозможно без главной формулы космонавтики - уравнения Циолковского.

В наше время продолжается изучение как планет и других тел нашей Солнечной системы (Венеры, Марса, Юпитера, Урана, Земли и пр.), так и удаленных объектов (астероиды, другие системы и галактики). Умозаключения о характеристике космического движения тел Циолковского положили начало теоретическим основам космонавтики, которые привели к изобретению десятков моделей электро-реактивных двигателей и крайне интересных механизмов, например, солнечного паруса.

Основные проблемы освоения космоса

В качестве проблем освоения космоса четко выделяются три области исследования и разработок в науке и технике:

1. Полеты около Земли или конструирование искусственных спутников.
2. Лунные полеты.
3. Планетарные полеты и полеты к объектам Солнечной системы.

Уравнение Циолковского для реактивного движения способствовало тому, что человечество в каждой из этих областей достигло удивительных результатов. А также появилось множество новых прикладных видов наук: космическая медицина и биология, системы жизнеобеспечения на космическом аппарате, космическая связь, и др.

Большинство людей сегодня слышали об основных достижениях: первая высадка на луну (США), первый спутник (СССР) и подобное. Помимо самых известных достижений, которые у всех на слуху, существует много и других. В частности, СССР принадлежат:

• первая орбитальная станция;
• первый облет Луны и фотографии обратной стороны;
• первая посадка на Луну автоматизированной станции;
• первые полеты аппаратов к другим планетам;
• первая посадка на Венеру и Марс и пр.

Многие даже не представляют, насколько огромными были достижения СССР в сфере космонавтики. Во всяком случае, они были значительно больше, чем просто первый спутник.

Но и США внесли не меньший вклад в развитие космонавтики. В США провели:

• Все крупные достижения в использовании околоземной орбиты (спутники и спутниковая связь) для научных целей и решения прикладных задач.
• Множество экспедиций на Луну, исследования Марса, Юпитера, Венеры и Меркурия с расстояния пролетных траекторий.
• Множество научных и медицинских экспериментов, проводимых в невесомости.

И хотя на данный момент достижения других стран меркнут на фоне СССР и США, но Китай, Индия и Япония активно присоединились к изучению космоса в период после 2000 года.

Однако достижения космонавтики не ограничиваются только верхними слоями планеты и высокими научными теориями. На простую жизнь она тоже оказала большое влияние. В результате изучения космоса в нашу жизнь пришли такие вещи: молния, липучка, тефлон, спутниковая связь, механические манипуляторы, беспроводные инструменты, солнечные батареи, искусственное сердце и многое другое. И именно формула скорости Циолковского, которая помогла преодолеть гравитационное притяжение и способствовала появлению в науке космической практики, помогла всего этого добиться.

Термин "космодинамика"

Уравнение Циолковского легло в основу космодинамики. Однако следует разобраться с этим термином подробнее. Особенно в вопросе близких к нему по смыслу понятий: космонавтика, небесная механика, астрономия и др. Космонавтика переводится с греческого "плавание во Вселенной". В обычном случае этим термином обозначается масса всех технических возможностей и научных достижений, позволяющих изучать комическое пространство и небесные тела.

Космические полеты - это то, о чем человечество мечтало столетиями. И эти мечты превратились в реальность, из теории - в науку, а все благодаря формуле Циолковского для скорости ракеты. Из трудов этого великого ученого нам известно, что теория космонавтики стоит на трех столпах:

1. Теория, описывающая движение космических аппаратов.
2. Электро-ракетные двигатели и их производство.
3. Астрономические знания и исследования Вселенной.

Как уже ранее отмечалось, в космическую эру появилось множество других научно-технических дисциплин, таких как: системы управления космическими кораблями, системы связи и передачи данных в космосе, навигация в космическом пространстве, космическая медицина и многое другое. Стоит отметить, что во времена зарождения основ космонавтики даже не было как такового радио. Изучение электромагнитных волн и передачи на большие расстояния с их помощью информации только начиналось. Поэтому основатели теории серьезно рассматривали в качестве способа передачи данных световые сигналы - отраженные в сторону Земли солнечные лучи. Сегодня невозможно представить космонавтику без всех смежных с ней прикладных наук. В те далекие времена воображение ряда ученых действительно поражало. Помимо способов связи ими также затрагивались такие темы, как формула Циолковского для многоступенчатой ракеты.

Можно ли выделить среди всего многообразия какую-либо дисциплину в качестве главной? Ею является теория движения космических тел. Именно она служит главным звеном, без которого невозможна космонавтика. Эту область науки принято называть космодинамикой. Хотя у нее существует множество тождественных названий: небесная или космическая баллистика, механика полета в космосе, прикладная небесная механика, наука о движении искусственных небесных тел и т. д. Все они обозначают одну и ту же область изучения. Формально космодинамика входит в небесную механику и использует ее методы, однако есть крайне важное отличие. Небесная механика только изучает орбиты у нее нет возможности выбора, а вот космодинамика призвана определять оптимальные траектории достижения тех или иных небесных тел космическими аппаратами. И уравнение Циолковского для реактивного движения позволяет кораблям определить как именно можно влиять на траекторию полета.

Космодинамика как наука

С тех пор, как К. Э. Циолковский вывел формулу, наука о движении небесных тел прочно оформилась как космодинамика. Она позволяет космическим кораблям пользоваться методами поиска оптимального перехода между разными орбитами, что называется орбитальным маневрированием, и является основой теории передвижения в космосе, точно так же как базой для полетов в атмосфере является аэродинамика. Однако она не единственная наука, занимающуюся данным вопросом. Помимо нее существует еще и ракетодинамика. Обе эти науки составляют прочную основу для современной космической техники и обе входят в раздел небесной механики.

Космодинамика состоит из двух основных разделов:

1. Теория о движении центра инерции (масс) объекта в космосе, или теория о траекториях.
2. Теория о движении космического тела относительно его центра инерции, или теория вращения.

Чтобы разобраться что представляет собой уравнение Циолковского, нужно хорошо понимать механику, т. е. законы Ньютона.

Первый закон Ньютона

Любое тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое до тех пор, пока приложенные к нему внешние силы не вынудят его изменить это состояние. Иными словами вектор скорости такого движения остается постоянным. Такое поведение тел также называется инерциальным движением.

Любой другой случай, при котором происходит какой-либо изменение вектора скорости, означает, что тело обладает ускорением. Интересным примером в данном случае является движение материальной точки по окружности или любого спутника по орбите. В данном случае происходит равномерное движение, но не прямолинейное, ведь вектор скорости постоянно меняет направление, а значит, ускорение не равно нулю. Данное изменение скорости можно вычислить по формуле v 2 / r, где v - постоянная величина скорости, а r - радиус орбиты. Ускорение в этом примере будет направлено к центру окружности в любой точки траектории движения тела.

Исходя из определения закона, причиной изменения направления материальной точки может быть только сила. В ее роли (для случая со спутником) выступает гравитация планеты. Притяжение планет и звезд, как легко можно догадаться, имеет большое значение в космодинамике в целом и при использовании уравнения Циолковского, в частности.

Второй закон Ньютона

Ускорение прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела. Или в математической форме: a = F / m, или более привычно - F = ma, где m - это коэффициент пропорциональности, который представляет собой меру для инерции тела.

Так как любая ракета представляется, как движение тела с переменной массой, уравнение Циолковского будет изменяться каждую единицу времени. В вышеописанном примере о спутнике, движущемся вокруг планеты, зная его массу m, можно легко выяснить силу, под действием которой он вращается по орбите, а именно: F = mv 2 /r. Очевидно, что данная сила будет направлена к центру планеты.

Возникает вопрос: почему спутник не падает на планету? Он не падает, так как его траектория движения не пересекается с поверхностью планеты, потому что природа не заставляет его двигаться вдоль действия силы, ибо ей сонаправлен только вектор ускорения, а не скорости.

Также следует отметить, что в условиях, когда известна сила, действующая на тело, и его масса, можно выяснить ускорение тела. А по нему математическими методами определяется путь, по которому двигается это тело. Здесь мы приходим к двум основным задачам, решением которых занимается космодинамика:

1. Выявление сил, при помощи которых можно манипулировать движением космического корабля.
2. Определение движения этого корабля, если известны действующие на него силы.

Вторая задача является классическим вопросом для небесной механики в то время, как первая показывает исключительную роль космодинамики. Поэтому в данной области физики помимо формулы Циолковского для реактивного движения крайне важно понимать ньютоновскую механику.

Третий закон Ньютона

Причиной силы, действующей на какое-либо тело, всегда является другое тело. Но верно также и обратное. В этом заключается суть третьего закона Ньютона, который гласит, что всякому действию есть действие, равное по величине, но противоположно направленное, называемое противодействием. Другими словами, если тело А действует с силой F на тело B, то тело B действует на тело А с силой -F.

В примере со спутником и планетой третий закон Ньютона приводит нас к пониманию того, что с какой силой планета притягивает спутник, точно с такой же спутник притягивает планету. Данная сила притяжения ответственна за придание ускорения спутнику. Но она также придает ускорение и планете, но ее масса так велика, что данное изменение скорости ничтожно мало для нее.

Формула Циолковского для реактивного движения полностью строится на понимании последнего закона Ньютона. Ведь именно за счет выбрасываемой массы газов основное тело ракеты приобретает ускорение, которое позволяет ему двигаться в нужном направление.

Немного о системах отсчета

Рассматривая какие-либо физические явления, сложно не затрагивать такую тему, как систему отсчета. Движение космического корабля, как и любого другого тела в пространстве, может фиксироваться в разных координатах. Не существует неправильных систем отсчета, есть лишь более удобные и менее. Например, движение тел в Солнечной системе лучше всего описывать в гелиоцентрической системе отсчета, то есть в координатах, связанных с Солнцем, также именуемых системой Коперника. Однако движение Луны в данной системе рассматривать менее удобно, поэтому ее изучают в геоцентрических координатах - отсчет ведется относительно Земли, это называется системой Птолемея. А вот, если стоит вопрос в том, попадет ли пролетающий рядом астероид в Луну, удобнее будет использовать опять гелиоцентрические координаты. Важно уметь пользоваться всеми координатными системами и быть способным смотреть на задачу с разных точек зрения.

Ракетное движение

Основным и единственным способом передвижения в космическом пространстве является ракета. Впервые этот принцип был выражен, по данным сайта "Хабр", формулой Циолковского в 1903 году. С тех пор инженеры космонавтики изобрели десятки видов ракетных двигателей, использующих самые разнообразные виды энергии, но все они объединены одним принципом работы: выбрасывание части массы из запасов рабочего тела для получения ускорения. Силу, которая образуется в результате данного процесса, принято называть силой тяги. Приведем некоторые умозаключения, которые позволят прийти к уравнению Циолковского и выводу его основной формы.

Очевидно, что тяговая сила будет увеличиваться в зависимости от объемов выбрасываемой из ракеты массы в единицу времени и той скорости, которую удается этой массе сообщить. Таким образом, получается соотношение F = w * q, где F - тяговая сила, w - скорость отбрасываемой массы (м/с) и q - масса, расходуемая в единицу времени (кг/с). Стоит отдельно отметить важность системы отсчета, связанной именно с самой ракетой. В противном случае невозможно характеризовать силу тяги ракетного двигателя, если измерять все относительно Земли или других тел.

Исследования и эксперименты показали, что соотношение F = w * q остается справедливым только для случаев, когда выбрасываемая масса представляет собой жидкость или твердое тело. Но в ракетах используется струя раскаленного газа. Поэтому в соотношение нужно ввести ряд поправок, и тогда получим дополнительный член соотношения S * (p r - p a), который суммируется с изначальным w * q. Здесь p r - давление, оказываемое газом, на срезе сопла; p a - атмосферное давление и S - площадь сопла. Таким образом, уточненная формула будет выглядеть следующим образом:

F = w * q + Sp r - Sp a.

Откуда видно, что по мере набора высоты ракетой атмосферное давление будет становиться меньше, а сила тяги - возрастать. Однако физики любят удобные формулы. Поэтому зачастую используется формула, похожая на свою первоначальную форму F = w э * q, где w э - эффективная скорость истечения массы. Она определяется экспериментальным путем во время испытания двигательной установки и численно равна выражению w + (Sp r - Sp a) / q.

Рассмотрим понятие, тождественное w э - удельный импульс тяги. Удельный - значит относящийся к чему-то. В данном случае это к гравитации Земли. Для этого в вышеописанной формуле правая часть умножается и делится на g (9,81 м/с 2):

F = w э * q = (w э / g) * q * g или F = I уд * q * g

Измеряется данная величина I уд в Н*с/кг или что тоже самое м/с. Иными словами удельный импульс тяги измеряется в единицах скорости.

Формула Циолковского

Как легко можно догадаться, помимо тяги двигателя на ракету действует множество других сил: притяжение Земли, гравитация других объектов Солнечной системы, атмосферное сопротивление, давление света и т. д. Каждая из этих сил придает свое ускорение ракете, а суммарное из действие сказывается на итоговом ускорение. Поэтому удобно ввести понятие реактивного ускорения или a r = F т / M, где М - масса ракеты в определенный период времени. Реактивное ускорение - это ускорение, с которым двигалась бы ракета при отсутствии действующих на нее сил из вне. Очевидно, что по мере расходования массы, ускорение будет увеличиваться. Поэтому есть еще одна удобная характеристика - начальное реактивное ускорение a r0 = F т * M 0 , где М 0 - это масса ракеты в момент начала движения.

Логичным будет звучать вопрос о том, какую скорость способна развить ракета в подобном пустом пространстве, после того как израсходует какое-то количество массы рабочего тела. Пусть масса ракеты изменилась от m 0 до m 1 . Тогда скорость ракеты после равномерного израсходования массы до значения m 1 кг будет определяться формулой:

V = w * ln(m 0 / m 1)

Это не что иное, как формула движения тел с переменной массой или уравнение Циолковского. Она характеризует энергетический ресурс ракеты. А скорость, получаемая данной формулой, называется идеальной. Можно записать данную формулу в ином тождественном варианте:

V = I уд * ln(m 0 / m 1)

Стоит отметить, применение Формулы Циолковского для расчета топлива. Точнее сказать, массы ракеты носителя, которая потребуется для выведения определенного веса на орбиту Земли.

В конце следует сказать и о таком великом ученом, как Мещерский. Вместе с Циолковским они являются праотцами космонавтики. Мещерский внес огромный вклад в создание теории движения объектов переменной массы. В частности, формула Мещерского и Циолковского выглядит следующим образом:

m * (dv / dt) + u * (dm / dt) = 0,

где v - скорость материальной точки, u - скорость отброшенной массы относительно ракеты. Данная соотношение также называется дифференциальным уравнением Мещерского, тогда формула Циолковского получается из нее как частное решение для материальной точки.

Уравнение движения тела с переменной массой

Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Рисунок 1.

Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)

Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:

$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)

Разделив на $dt$, получаем:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:

$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)

Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $

Последнее соотношение называется формулой Циолковского .

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.

Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.

Найти: $\alpha $-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.

Найти: $H$-?

Решение:

Рисунок 2.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:

Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:

Подставляя начальные значения, получаем:

$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :

$m\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{d\backslash vec\{V\}\}\{dt\}+\; \backslash vec\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{dm\}\{dt\}=0$, в котором $m$ - масса точки; $V$ - скорость точки; $u$ - относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс $I$ $\backslash Delta\; v\_\{g\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; g(t)\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma\; (t))\backslash ,dt$,

где $g(t)$ и $\backslash gamma\; (t)$ - местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение $\backslash cos(\backslash gamma\; (t))$ близко к максимальному значению - 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{a\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{A(t)\}\{m(t)\}\; \backslash ,dt$,

где $A(t)$ - сила лобового аэродинамического сопротивления, а $m(t)$ - текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$\backslash Delta\; v\_\{u\}\backslash \; =\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{t\}\; \backslash frac\; \{F(t)\}\{m(t)\}\; \backslash cdot(1\; -\; \backslash cos(\backslash alpha\; (t)))\; \backslash ,dt$,

где $F(t)$ - текущая сила тяги двигателя, $m(t)$ - текущая масса ракеты, а $\backslash alpha\; (t)$ - угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$\backslash frac\; \{M\_\{1\}\}\; \{M\_\{2\}\}\; =\; e^\{V/I\}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса . Введём следующие обозначения:

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

$M\_\{k\}=\backslash frac\; \{M\_\{t\}\}\; \{k\}$, (2) где $k$ - коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента $k$. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения $k$).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$\backslash frac\; \{M\_\{0\}+\; M\_\{t\}+M\_\{t\}/k\}\; \{M\_\{0\}+M\_\{t\}/k\}=e^\{V/I\}$,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M\_\{t\}=\backslash frac\; \{M\_\{0\}\; \backslash cdot\; k\; \backslash cdot\; (e^\{V/I\}-1)\}\{k+1-\; e^\{V/I\}\}$ (3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента $k$.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы: $k+1-\; e^\{V/I\}>0$ , иначе говоря, $k>e^\{V/I\}-1$ (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости $V$ при заданных значениях удельного импульса $I$ и коэффициента $k$. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь - вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит $V=8359,4$ м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $e^\{V/I\}=17,86$. Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно .

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении - при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты $k$ остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это - сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями - переходниками - несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки , которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента $k$, а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости . В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

$\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}=\backslash left\; (\backslash frac\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{c\}\{2I\}\}$,

где $c$ - скорость света . Для фотонной ракеты $I=c$ и формула имеет вид:

$\backslash frac\{M\_\{1\}\}\{M\_\{2\}\}=\backslash sqrt\; \{\backslash frac\{1+\backslash frac\{V\}\{c\}\}\{1-\backslash frac\{V\}\{c\}\}\}$,

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

$\backslash frac\{V\}\{c\}\; =\; \backslash frac\{1-\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}\{1+\; \backslash left(\backslash frac\{M\_\{2\}\}\{M\_\{1\}\}\; \backslash right)^\{2\}\}$,

См. также

Напишите отзыв о статье "Формула Циолковского"

Примечания

Литература

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. - М .: Наука, 1980. - 512 с.

Отрывок, характеризующий Формула Циолковского

Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг"ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Денисов не отвечал; он подъехал к Пете, слез с лошади и дрожащими руками повернул к себе запачканное кровью и грязью, уже побледневшее лицо Пети.
«Я привык что нибудь сладкое. Отличный изюм, берите весь», – вспомнилось ему. И казаки с удивлением оглянулись на звуки, похожие на собачий лай, с которыми Денисов быстро отвернулся, подошел к плетню и схватился за него.
В числе отбитых Денисовым и Долоховым русских пленных был Пьер Безухов.

О той партии пленных, в которой был Пьер, во время всего своего движения от Москвы, не было от французского начальства никакого нового распоряжения. Партия эта 22 го октября находилась уже не с теми войсками и обозами, с которыми она вышла из Москвы. Половина обоза с сухарями, который шел за ними первые переходы, была отбита казаками, другая половина уехала вперед; пеших кавалеристов, которые шли впереди, не было ни одного больше; они все исчезли. Артиллерия, которая первые переходы виднелась впереди, заменилась теперь огромным обозом маршала Жюно, конвоируемого вестфальцами. Сзади пленных ехал обоз кавалерийских вещей.
От Вязьмы французские войска, прежде шедшие тремя колоннами, шли теперь одной кучей. Те признаки беспорядка, которые заметил Пьер на первом привале из Москвы, теперь дошли до последней степени.
Дорога, по которой они шли, с обеих сторон была уложена мертвыми лошадьми; оборванные люди, отсталые от разных команд, беспрестанно переменяясь, то присоединялись, то опять отставали от шедшей колонны.
Несколько раз во время похода бывали фальшивые тревоги, и солдаты конвоя поднимали ружья, стреляли и бежали стремглав, давя друг друга, но потом опять собирались и бранили друг друга за напрасный страх.
Эти три сборища, шедшие вместе, – кавалерийское депо, депо пленных и обоз Жюно, – все еще составляли что то отдельное и цельное, хотя и то, и другое, и третье быстро таяло.
В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.

«Земля – колыбель человечества. Но нельзя вечно жить в колыбели». Это высказывание принадлежит русскому изобретателю, выдающемуся учёному-самоучке Константину Эдуардовичу Циолковскому.

Циолковского называют отцом космонавтики. Ещё в 1883 г. в своей рукописи "Свободное пространство" он высказывал мысль о том, что в космосе можно передвигаться с помощью ракеты. Но теорию ракетного движения он обосновал гораздо позже. В 1903 г. была опубликована первая часть труда учёного, который назывался «Исследование мировых пространств реактивными приборами». В этом труде он привёл доказательства того, что ракета является аппаратом, способным совершать космический полёт.

Научными разработками в области воздухоплавания и аэродинамики Циолковский занимался и ранее. В 1892 г. в работе «Теория и опыт аэростата» он описал управляемый дирижабль с оболочкой из металла. В те времена оболочки делали из прорезиненной ткани. Понятно, что дирижабль Циолковского мог служить гораздо дольше. Кроме того, он был оснащён системой подогрева газа и имел переменный объём. А это позволяло сохранять постоянную подъёмную силу при различных температурах окружающей среды и на различной высоте.

В 1894 г. учёный опубликовал статью «Аэростат или птицеподобная (авиационная) летательная машина», в которой описал летательный аппарат тяжелее воздуха – аэроплан с металлическим каркасом. В статье были даны расчёты и чертежи цельнометаллического самолёта с одним изогнутым крылом. К сожалению, в то время идеи Циолковского не были поддержаны в научном мире.

Многие поколения учёных мечтали о полётах за пределы Земли – на Луну, Марс и другие планеты. Но как будет двигаться летательный аппарат в космосе, где абсолютная пустота и нет опоры, оттолкнувшись от которой он получит ускорение? Циолковский предложил использовать для этой цели ракету, приводимую в движение реактивным двигателем.

Как устроен ракетный двигатель

В космическом пространстве нет ни твёрдой, ни жидкой, ни газообразной опоры. И ускорение космическому кораблю может сообщить только реактивная сила . Для появления этой силы внешние воздействия не нужны. Она возникает, когда продукты сгорания вытекают из сопла ракеты с некоторой скоростью относительно самой ракеты.

Основная часть ракетного двигателя – камера сгорания . В ней и происходит процесс сгорания топлива. В одной из стенок этой камеры есть отверстие, называемое реактивным соплом . Вот через это отверстие и выбрасываются газы, образуемые при сгорании.

Продукты сгорания топлива в двигателях называют рабочим телом. Вообще, рабочее тело – это некое условное материальное тело, расширяющееся при нагреве и сжимающееся при охлаждении. В каждом типе двигателя оно разное. Так, в тепловых двигателях, рабочее тело – это продукты сгорания бензина, дизельного топлива и др. В ракетных – продукты сгорания ракетного топлива. А топливо для ракетных двигателей также бывает разным. И в зависимости от его вида различают ядерные ракетные двигатели, электрические ракетные двигатели, химические ракетные двигатели.

В ядерном ракетном двигателе рабочее тело нагревается за счёт энергии, которая выделяется при ядерных реакциях.

В электрических ракетных двигателях источником энергии служит электрическая энергия.

Химические ракетные двигатели , в которых топливо (горючее и окислитель) состоит из веществ, находящихся в твёрдом состоянии, называются твёрдотопливными (РДТТ). А в жидкостных ракетных двигателях (ЖРД) компоненты топлива хранятся в жидком агрегатном состоянии.

Циолковский предложил использовать для полётов в космосе жидкостные ракетные двигатели. Такие двигатели преобразуют химическую энергию топлива в кинетическую энергию выбрасываемой из сопла струи. В камерах сгорания этих двигателей происходит экзотермическая (с выделением теплоты) реакция горючего и окислителя. В результате этой реакции продукты сгорания нагреваются, расширяются и, разгоняясь в сопле, истекают из двигателя с огромной скоростью. А ракета, согласно закону сохранения импульса, получает ускорение, направленное в другую сторону.

И в наше время для полётов в космосе применяют ракетные двигатели. Конечно, существуют и другие проекты двигателей, например, космический лифт или солнечный парус , но все они находятся в стадии разработки.

Первая ракета Циолковского

Люди придумали ракеты очень давно.

В конце III века до нашей эры человечество изобрело порох. А сила, возникающая при взрыве пороха, могла приводить в движение различные предметы. И пиротехнические средства стали использовать для фейерверков. Позже были созданы пушки и мушкеты. Их снаряды могли летать на вполне приличное расстояние. Но ракетами их всё-таки назвать нельзя было, так как они не имели собственного топлива. Но с их появлением возникли предпосылки для создания настоящих ракет.

Китайские «огненные стрелы», к которым прикреплялись трубки из плотной бумаги, заполненные горючим веществом и открытые с заднего конца, вылетавшие из лука при поджигании заряда, уже можно было считать ракетами.

В конце XIX века ракеты уже были на вооружении в артиллерии. Циолковский же предложил ракету – летательный аппарат, который передвигается в космическом пространстве за счёт действия реактивной тяги.

Как же выглядела первая ракета Циолковского? Это был летательный аппарат в виде металлической продолговатой камеры (формы наименьшего сопротивления), внутри которого располагались 2 отсека: жилой и двигательный. Жилой отсек предназначался для экипажа. А в двигательном отсеке находился жидкостный ракетный двигатель, работающий на водородно-кислородном топливе. Жидкий водород служил топливом, а жидкий кислород – окислителем, необходимым для горения водорода. Газы, образующиеся при сгорании топлива, имели очень высокую температуру и текли по трубам, расширяющимся к концу. Разредившись и охладившись, они вырывались из раструбов с огромной относительно ракеты скоростью. На выбрасываемую массу действовала сила со стороны ракеты. А согласно третьему закону Ньютона (закон равенства действия и противодействия) такая же сила, называемая реактивной, действовала и на ракету со стороны выбрасываемой массы. Эта сила сообщала ракете ускорение.

Формула Циолковского

Формула для вычисления скорости ракеты, обнаружена в математических трудах Циолковского, написанных им в 1897 г.

,

V - скорость летательного аппарата после выработки всего топлива:

I – отношение тяги двигателя к расходу топлива в секунду (величина, называемая удельным импульсом ракетного двигателя). Для теплового ракетного двигателя u = I.

M 1 – масса летательного аппарата в начальный момент полёта. Она включает массу самой конструкции ракеты, массу топлива и массу полезной нагрузки (например, космического корабля, который выводится ракетой на орбиту).

M 2 – масса летательного аппарата в конечный момент полёта. Так как топливо к этому времени уже израсходовано, то это будет масса конструкции + масса полезной нагрузки.

С помощью формулы Циолковского можно рассчитать количество топлива, необходимое ракете для получения заданной скорости.

Из формулы Циолковского получаем отношение начальной массы ракеты к её конечной массе:

Обозначим:

M o – масса полезного груза

M k - масса конструкции ракеты

M t - масса топлива

Масса конструкции зависит от массы топлива. Чем больше топлива необходимо ракете, тем больше резервуаров потребуется для его транспортировки, а значит, большей будет и масса конструкции.

Отношение этих масс выражается формулой:

где k – коэффициент, который показывает количество топлива на единицу массы конструкции ракеты.

Этот коэффициент может быть разным в зависимости от того, какие материалы использованы в конструкции ракеты. Чем легче и прочнее эти материалы, тем меньшим будет коэффициент, и легче конструкция. Кроме того, он зависит и от плотности топлива. Чем плотнее топливо, тем меньшие по объёмы ёмкости потребуются для его транспортировки, и тем выше значение k .

Подставив в формулу Циолковского выражения начальной и конечной массы ракеты через массы конструкции, груза и топлива, получим:

Из этого выражения следует, что величина массы топлива равна:

Зная значение удельного импульса топлива и массу полезного груза, можно рассчитать скорость ракеты.

Эта формула имеет смысл только в том случае, если

или

Если это условие не выполняется, ракета никогда не сможет достигнуть заданной скорости.

Многоступенчатая ракета

Чтобы преодолеть притяжение Земли, летательный аппарат должен развить горизонтальную скорость около 7,9 км/сек. Эта скорость называется первой космической скоростью . Получив такую скорость, он будет двигаться вокруг Земли по концентрической орбите и станет искусственным спутником Земли. При меньшей скорости он упадёт на Землю.

Чтобы покинуть орбиту Земли, аппарат должен обладать скоростью 11,2 км/сек. Эта скорость называется второй космической скоростью . А космический аппарат, получивший такую скорость, становится спутником Солнца.

Каждое небесное тело имеет свои значения космических скоростей. Например, для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 км/сек.

Вес топлива, необходимого для получения даже первой космической скорости, по расчётам превышает вес самой ракеты. А ведь кроме топлива, она должна нести ещё и полезный груз: экипаж, приборы и т.п. Понятно, что такую ракету построить невозможно. Но Циолковский нашёл решение и этой задачи. А что если механически скрепить вместе несколько ракет? Учёный предложил направлять в космическое пространство целый «ракетный поезд». Каждая ракета в таком «поезде» называлась ступенью, а сам «поезд» - многоступенчатой ракетой.

Двигатель первой, самой большой ступени, включается при старте. Она получает ускорение и сообщает его всем остальным ступеням, которые по отношению к ней являются полезной нагрузкой. Когда всё топливо выгорит, эта ступень отделяется от ракеты и сообщает свою скорость второй ступени. Далее таким же образом разгоняется вторая ступень, которая также отделится от ракеты, когда закончится топливо. И так будет до тех пор, пока не закончится топливо в двигателе последней ступени ракеты. Тогда и эта ступень отделится от космического корабля, а он займёт свое место на космической орбите.

Формула Константина Эдуардовича Циолковского выражает максимальную скорость летательного аппарата, которой он достигает во время полета при реактивном движении. Она получается при интегрировании уравнения Мещерского.

Эта формула выражает скорость ракеты, переданную газами от сожженного топлива. Уравнение Мещерского и формула Циолковского неразрывно связаны - уравнение Мещерского описывает массу материальной точки, которая изменяется со временем, в то время как при реактивном движении ракеты постоянно идет уменьшение ее массы из-за сгорания топлива. Изменение скорости при изменяющейся массе (уменьшающейся в нашем случае) движущегося тела - вот что подразумевает под собой реактивное движение. Формула Циолковского основывается именно на нем.

Для решения ряда задач теоретической механики в области реактивного движения используют уравнение Мещерского (основное уравнение материальной точки переменной массы) и формулу Циолковского (формула конечной скорости летательного аппарата), которые называются основными соотношениям теории реактивного движения.

Основой при проектировании и планировании в области космических полетов является именно формула Циолковского, вывод которой стал настоящим прорывом для освоения космоса.

Задачи Циолковского

Для того, чтобы разрешить проблему межпланетных перелетов, К. Э. Циолковский рассмотрел в качестве средства перелета ракету. Он вывел формулу, с помощью которой можно получить зависимость массы летательного аппарата с топливом и скорости отдаления продуктов сгорания используемого топлива ракеты относительно нее. Покажем две его задачи:

• Исследование движения тела с переменной массы с действующей на него одной реактивной силы.
• Исследование движение тела в однородном поле силы тяжести переменной массы вблизи поверхности Земли.

Предисловие

Для всех космических полетов изначальной и основополагающей стала формула Циолковского для скорости ракеты, вывод которой представлен ниже.

Для начала необходимо приняв ее, грубо говоря, за материальную точку. На нее будут действовать силы притяжения Земли и других небесных тел (в момент взлета сила гравитации Земли будет, конечно же, наиболее сильной), сила сопротивления воздуха с одной стороны и противоположно им направленная реактивная сила, возникающая из-за выброса сгоревшего газа у основания тела. Ракета с большой силой выбрасывает эти газы, которые сообщают ей ускорение, направленное противоположно стороне выброса. Теперь необходимо представить эти рассуждения в виде формулы.

Сам принцип полета ракеты достаточно простой. С большой скоростью из ракеты вырывается газ, полученный при сгорании топлива, который сообщает самой ракете определенную силу, которая действует противоположно направлению движения. Так как считается, что внешние силы не действуют на ракету, то система будет замкнутой, и импульс ее не зависит от времени.

Уравнение Мещерского

Одним из основных примеров движения тела с изменяющейся массой является ракета с одной ступень, масса которой изменяется только из-за сжигания топлива, содержащегося в ней. Масса такой ракеты складывается из неизменяющейся (сама ракета и ее полезная нагрузка) и изменяющейся (топливо). Такой пример является упрощенной моделью.

Однако в современном ракетостроении используются многоступенчатые ракеты. Принцип их работы заключается в том, что благодаря большому объему ступеней они способны перевозить и использовать после взлета гораздо большее количество топлива. После его сгорания, ракете сообщается значительный импульс (гораздо больший, чем тот, которого можно добиться, используя одну ступень), а ставшие ненужными части открепляются от основы, уменьшая общий вес на 80-90%. Тем не менее, для расчета параметров многоступенчатой ракеты необходимо сложить показатели каждой из ее составляющей.

Дифференциальное уравнение Мещерского описывает движение материальной точки с переменной массой.

(m+dm)(υ+dυ) + dm′ υ′ - mυ = Fdt - в момент времени dt (разность между силой в момент времени t и dt+t и будет приращением).

Где m и υ зависят от времени, dt - какое-то время полета. За его образуется сила перемещения газа - dm′ υ′, dm′ - масса образованного из топлива газа. F - равнодействующая сила.

В описанном выше выражении приращения массы ракеты и газа и скорости устремляется к нулю, поэтому выражение принимает следующий вид:

mdυ = υ′′dm + Fdt,

причем υ′′ равняется разности скорости газа и скорости и является скоростью истечения газа.

Уравнение по форме начинает совпадать со вторым законом Ньютона - F = ma = m

Оно и называется уравнением Мещерского.

Вывод формулы Циолковского

Необходимо вывести формулу, описывающую движение тела с переменной массой. Формула Циолковского таковой и является. Вывод представлен ниже.

В данных вычислениях считается, что на движущееся тело не действуют внешние силы, то есть F = 0.

Тогда mdυ = υ′′dm

Так как воздействие внешних сил на летящую ракету равно нулю, то она движется прямолинейно, а скорость движения противоположно направлена скорости выхода газа. Соответственно, υ = -υ′′

Получается выражение, которое необходимо проинтегрировать.

Необходимо найти константу. Для этого достаточно подставить в уравнение начальные условия - скорость равна нулю, а масса - сумме массы топлива и массы ракеты (m 0 + m)

Вообще говоря, m в формуле складывается из двух параметров - из полезной нагрузки и конструкции ракеты. Полезной нагрузкой называется общая масса груза и экипажа.

Подставляем найденную константу в формулу. В результате и получается выражение искомой формулы.

Это и есть один из вариантов формулы Циолковского для скорости. Однако иногда необходимо принять во внимание именно массу. Поэтому ее иногда записывают следующим образом:

Данная формула используется для расчета массы топлива, которая требуется для развития определенной скорости при заданных условиях.

Рассмотрю далее небольшую задачу. Предположим, ракете необходимо развить первую космическую скорость для вращения по орбите Земли. Тогда для этого необходимо в первую очередь рассчитать массу топлива, конечно же. Тогда ее очень просто выразить из формулы Циолковского.

Релятивистская механика

Все вышеописанные формулы могут применяться только в том случае, когда скорость ракеты много меньше скорости света (υ<

Однако если скорость движения ракеты можно сравнить со скоростью света, то необходимо применять уже другие законы.

Пусть m и υ - масса ракеты в состояние и ее скорость в любое время t, а υ′ и m′ - скорость выхода газа и его масса в это же время. То есть m′ - масса вышедшего газа, поэтому его значение для расчета неважно, m′ = 0.

Необходимо расписать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в релятивистской механике, затем продифференцировать первое уравнение, учитывая, что m′=0 и получить выражение третье.

где u - скорость испускания газов.

Исходя из закона сложения скоростей в релятивистской, механике следует такое выражение. Его необходимо преобразовать относительно υ′ и проинтегрировать для получения окончательного варианта уравнения.

Можно несколько усложнить задачу и рассмотреть в качестве примера ракету с несколькими ступенями. Таким образом, формула Циолковского для многоступенчатой ракеты представляет собой сумму необходимых для расчета параметров. То есть, для того, чтобы рассчитать скорость для многоступенчатой ракеты, следует сложить скорость каждой из составляющей части.

Несколько выводов из формулы Циолковского

Основа всех космических полетов - формула Циолковского.

• Скорость движения непосредственно зависит от относительной скорости выбрасывания газов, поэтому, чем больше скорость выбрасывания, тем быстрее летит ракета.
• Чем больше отношение суммы массы ракеты и массы топлива к массе ракеты, тем больше скорость ракеты. Увеличение происходит даже по определенной зависимости - если отношение масс увеличивается в геометрической прогрессии, то есть, каждое предыдущее число меньше последующего в определенное количество раз, то скорость растет в арифметической прогрессии - каждое предыдущее число меньше последующего на определенное число. Однако это совершенно не означает, что скорость пропорциональна массе. Сам Циолковский в своих трудах замечал, что скорость растет медленнее по сравнению с увеличением топлива, однако не имеет предела.
• Соответственно, для развития больше скорости необходимо увеличивать скорость выбрасывания газа и массу топлива.

КПД ракеты

При расчете полета важно четко осознавать, какой именно процент полученной после сгорания топлива энергии используется в качестве полезной работы?

Таким образом, коэффициентом полезного действия принято называть отношение кинетических энергий ракеты и газов после выбрасывания. Обозначим m и m′ за массу ракеты в начале и в конце полета, продолжающийся время t. Соответственно, - скорость выбрасывания газов.

Тогда, по формуле Циолковского, КПД двигателя ракеты можно найти следующим образом:

Следует заметить, что данный КПД является очень небольшим и не превышает 5%, притом как у тепловых двигателей этот показатель равняется и 80%.

Другая форма формулы

В некоторых ресурсах применяется несколько иная формула Циолковского, уравнение, в котором вместо υ′ применяется другой параметр - I. В данном случае I называют удельным импульсом, и даже приводится объяснение, что удельный импульс выражается через тягу двигателя и его сжиганию массы топлива за единицу времени. Первый вопрос, который приходит на ум - вопрос о размерности. В отличие от скорости, импульс имеет другую размерность, которая будет противоречить сути формулы. Однако, непосредственно удельный импульс совпадает по размерности со скоростью.

Удельный импульс показывает количество секунд, при котором двигатель, истратив единицу топлива, получит единицу силы. Применяется сугубо в описании реактивного двигателя.

Использование при создании ракет

Формулу Циолковского для многоступенчатой ракеты применяют и при проектировании ракеты. Для этого используется совершенно логичная зависимость, которая практически является прямопропорциональной - чем больше используется при полете топлива, тем больше будет масса самой ракеты. Это обуславливается тем, что для перевозки большого количества топлива требуются, соответственно, и большие резервуары, поэтому увеличивается в результате и размер корабля, и даже сам двигатель. Некоторым решением возникающей проблемы является использование твердого топлива, которое требует меньше условий для хранения. Однако в настоящий момент оно обладает наименьшим удельным импульсом из существующих.

Космические скорости

Формула Циолковского используется также для расчета необходимого количества топлива для развития определенной скорости - обычно это одна из четырех космических.

• Первая космическая скорость - корабль выходит на орбиту планеты. Для Земли равняется примерно 7.91 км/с.
• Вторая космическая скорость - ракета преодолевает силу притяжения и выходит в открытое пространство. Для Земли - 11.2 км/с.
• Третья космическая скорость - ракета преодолевает силу притяжения звезды в системе (например, Солнца) и выходит за пределы. Для Солнечной системы - 42 км/с, однако эти расчеты являются неточными из-за необходимости преодолевать притяжение планеты.
• Четвертая космическая скорость - корабль способен покинуть Галактику. Для Млечного пути - более 500 км/с, рассчитывается в зависимости от точки нахождения.

Главная » Дети » Реактивное движение. Школьная энциклопедия